Symmetrische Gruppe S6 |
| 10.11.2004, 10:02 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Symmetrische Gruppe S6 ich hab da eine Aufgabe, wo mich mal interessieren würde wie man sowas lösen kann - hab nämlich keine Ahnung 
Wieviele Elemente der Ordung 2 und der Ordnung 6 gibt es in der symmetrischen Gruppe S6? Bin für jede Hilfe dankbar!!!! Glg Sidonia |
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| 10.11.2004, 23:09 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weisst du wie die Ordnung eines Elementes in einer Gruppe definiert ist? Ich weiss es jetzt auch nicht, wuerde aber vermuten es ist die Anzahl der Elemente der vom jeweiligen Element erzeugten Untergruppe. Wenn du die Definition dafuer kennst, schreib sie doch bitte mal hier rein. Sollten meine Gedanken korrekt sein, geht das sicher durch ausprobieren am besten, es sind ja schliesslich nur 6 Elemente (und eines ist trivial). Gruesse Carsten |
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| 10.11.2004, 23:18 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja genauso ist die ordnung eines elementes definiert. ord(x) = #<x>; anders ausgedrückt: die ordnung eines elementes ist die kleinste natürliche Zahl n für die gilt: x^n=e (das neutrale element). man kann sich leicht davon überzeugen, dass dies genau das gleiche aussagt... (ganz nebenbei: Satz von Lagrange besagt, das die ordnung jedes Elementes immer die Ordnung der Gruppe teilt; kA, ob das hier zu gebrauchen ist...).
das allerdings wäre mir neu; da fallen mir spontan viel mehr ein.... in zykelschreibweise: id (12) (13) (14) (15) (16) (23)...... und das sind schon 7.... hast du gar keine idee, gast? was hast du dir denn bislang überlegt? mfg jochen |
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| 10.11.2004, 23:27 | carsten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sind natuerlich 6! Elemente |
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| 11.11.2004, 10:31 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das mit der Ordnung stimmt - also sind es insgesammt 720 Elemente in S6. Auf die Idee mit dem Ausprobieren bin ich auch schon gekommen, aber bei so vielen? Aber anscheinend wird mir nix anderes übrigbleiben Ich hab mir geacht vielleicht gibt es da nen Satz oder so den ich übersehen hab, und mit dem es einfacher geht. Trotzdem danke! Glg Sidonia |
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| 11.11.2004, 12:25 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ausprobieren bei 720 stück? öhm, nö, das ist wohl nicht so gut..... also überlegen wir doch mal gemeinsam: ordnung 2: es kann kein größeres zykel als 2 geben, andererseits muss es aber mindestens ein solches geben; der rest muss unverändert bleiben. sei die zahl der Transpositionen bei 6 Elementen = A sei die zahl der Transpositionen bei 4 Elementen = B ein 2zykel: jede transposition ist ein solches gesuchtes element der ordnung 2. wieviele transpositionen gibt es? (A) zwei 2 zykel: jede transposition von S6 mit jeder transposition von den verbleibenden 4 elementen; also A*B drei 2zykel: A*B (gleiche anzahl wie bei 2zykeln nur das hier die beiden letzen verbleibenden elemente auch vertauscht werden) also hast du eine gesamtsumme von A+A*B+A*B (dabei musst du jetzt nur noch A und b ausrechnen, aber das ist einfach) ich komme insgesamt auf 195 solche elemente mit ordnung 2 ordnung 6: was für mögliche zykel haben wir hier? es scheiden aus 5 und 4 zykel, da 5 und 4 keine teiler von 6 sind. also haben wir folgende möglichkeiten: ein 6 zykel (wieviele möglichkeiten? (*)) oder aber ein 2zykel und ein 3zykel (dazu berechne die anzahl aller möglichen 3zykel bei 4 elementen und multipliziere sie mit A von oben). die summe ist dann die anzahl aller element der S6 mit ordnung 6. (*) öhm, ich hoffe ich denke hier jetzt nicht falsch und die anzahl ist tatsächlich 120: das erste element hat 5 mögl. verschoben zu werden, das element, auf das es verschoben wird hat nur noch 4 elemente zur auswahl, da es nicht auf sich selbst und nicht auf das erste abgebildet werden darf, sein bild. hat dementsprechend 3 mgl., dessen bild wiederum nur 2 und dessen bild muss dann aufs letzte verbleibende abgebildet werden, das wiederum aufs erste abgebildet werden muss. ergäbe 5*4*3*2*1*1=120 Mgl. so, jetzt knobel mal und poste mal deine ergebnisse, ich hoffe, ich habe mich nicht allzusehr verrechnet. mfg jochen edit: hatte meine eigenen namensgebungen nicht durchgehalten...... habe sie korrekt umbenannt... |
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| 11.11.2004, 14:49 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achtung, ich habe mist erzählt 
ich machs mal als antwort und nicht als edit, damit's klarer wird.... betrifft meine zahlen für die kombination aller 2-zykel: da gibt es natürlich überschneidungen, die ich doppelt zähle.... A+A*B+B*A ist also nicht richtig..... X( denn (12)(34) ist natürlich identisch mit (34)(12) da braucht man also einen neuen ansatz, ohne doppelte..... aber das es nur aus 2-zykeln bestehen darf bleibt richtig..... mfg jochen |
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| 15.11.2004, 16:27 | Gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab jetzt am wochenende mal rumgetüftelt und i glaub ich hab es: Elemente der Ordnung 2: Möglichkeiten: - ein 2er Zykel: "6 über 2" - also 15 - zwei 2er Zykel: "6 über 2" * "4 über 2" / 2! = 45 - drei 3er Zykel: "6 über 2" * "4 über 2" * " 2 über2" /3! = 15 Also insgesammt 75 Elemente der Ordnung 2. Geteilt durch 2 bzw. 3! weil man die Permutationen alle mitgezählt hat: Bsp (i,j) (k,l) (m.n) = (m,n) (i,j) (k,l) glg Sidonia |
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