relationen

10.11.2004, 11:51

yam

relationen

hallo,

kann mir dabei jemand helfen?

Welche der Eigenschaften reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch bzw. transitiv haben die folgenden Relationen?
Dabei ist $\begin{eqnarray*} {N}_{>0} \end{eqnarray*}$ die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null, Z die Menge der ganzen Zahlen, R die Menge der reellen Zahlen, und "ggT(x, y)" ist der größte gemeinsame Teiler von x und y.
Begründen Sie Ihre Entscheidungen für oder gegen diese Eigenschaften jeweils.

a) $\begin{eqnarray*} T = \{ (x, y)\in R x R | x \neq y \} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} T = \{ (x, y) \in R x R | x-y > 0 \} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} T = \{ (x, y) \in {N}_{>0} x {N}_{>0} | ggT(x, y) = 1 \} \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} T = \{ (x, y) \in Z x Z | x^2 ist Teiler von y^2 \} \end{eqnarray*}$

10.11.2004, 16:56

JochenX

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nenne doch bitte erst mal deine ideen, die du schon hattest....
und zu einigen aufgaben solltest du auf alle fälle schon lösungen haben, du solltest z.b. auf jeden fall sagen können, ob a) reflexiv ist oder nicht.....
wir wollen dir ja verstehen helfen und nicht deine aufgaben für dich lösen....

mfg jochen

ps: mit den begriffen (symmetrisch...) selbst kommst du klar, oder?

11.11.2004, 16:49

flixgott

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a) irreflexiv, symmetrisch
b) irreflexiv, antismmetrisch, transitiv
c) irreflexiv, symmetrisch
d) reflexiv, antisymmetrisch, transitiv

eine (2stellige)Realtion R auf einer grundmenge M ist
$\begin{eqnarray*} reflexiv: \forall xeM : (x,x)eR \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} irreflexiv: \forall xeM : (x,x) ist kein Element von R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} symmetrisch: \forall x,yeM : (x,y)eR -> (y,x)eR \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} antisymmetrisch \forall x,yeM : ((x,y)eR -und- (y,x)eR) -> x=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} transitiv \forall x,y,zeM : ((x,y)eR -und- (y,z)eR) -> (x,z)eR \end{eqnarray*}$

das e steht immer für das elementzeichen (wie macht man das bzw 'ist kein element vonm' in latex? das logische und/ oder und der folgepfeil fehlt mir auch im formeleditor)
jetzt solltest du eben diese eigenschaften zu begründung überprüfen. wenn eine relation eine eigenschaft nicht besitzt, dann ist es das beste du findest ein gegenbeispiel!
hoffe, dir ein bischen geholfen zu haben!

11.11.2004, 19:24

JochenX

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Zitat:

wir wollen dir ja verstehen helfen und nicht deine aufgaben für dich lösen....

jetzt muss ich mich schon selbst zitieren.... tststs....

jetzt hast du's doch gelöst, flixgott.....
aber auf den ersten blick habe ich bereits mindestens einen fehler entdeckt....
c) ist NICHT irreflexiv, da (1,1) in R liegt.

mfg jochen

11.11.2004, 19:49

flixgott

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die begründung ist aber wesentlich anspruchsvoller und jetzt weiss er wonach er gucken muß.. ok, war veilleicht ein bischen vorschnell!

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