Homogenität

27.03.2007, 22:11

framala

Homogenität

Hi,

ich komme bei der folgenden Aufgabe einfach nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} y = f(x_{1},....x_{n}) \end{eqnarray*}$ ist eine homogene Funktion vom Grad r. Zu zeigen ist, dass die erste Ableitung von y nach $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ eine homogene Funktion zum Grad r-1 ist für i = 1,....,n.

Scheint logisch, aber wie sieht's mit dem dazugehörigen Beweis aus?

28.03.2007, 00:47

framala

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Mein bisheriger Ansatz:

$\begin{eqnarray*} y = f(x_{1},....,x_{n}) \Rightarrow f(\lambda x_{1}^r,....,\lambda x_{n}^r) \Rightarrow \lambda^r * f(x_{1}^r,....,x_{n}^r)\Rightarrow \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist homogen vom Grad r.

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx_{i}} = f'(x_{1}^{r-1},....,x_{n}^{r-1}) \Rightarrow f'(\lambda x_{1}^{r-1},....,\lambda x_{n}^{r-1}) \Rightarrow \lambda^{r-1} * f'(x_{1}^{r-1},....,x_{n}^{r-1}) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist homogen vom Grad r-1.

Kann das stimmen?

28.03.2007, 00:48

Abakus

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RE: Homogenität
Kannst du die Voraussetzung (die Homogenitätsbedingung) und das, was du zeigen musst, erstmal hinschreiben ?

Vielleicht sieht man dann eher was.

Grüße Abakus smile

EDIT: OK, schon gemacht Augenzwinkern

28.03.2007, 01:03

Abakus

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Zitat:

Original von framala
Mein bisheriger Ansatz:

$\begin{eqnarray*} y = f(x_{1},....,x_{n}) \Rightarrow f(\lambda x_{1}^r,....,\lambda x_{n}^r) \Rightarrow \lambda^r * f(x_{1}^r,....,x_{n}^r)\Rightarrow \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist homogen vom Grad r.

Du meinst:

f homogen vom Grad r $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(\lambda x_{1},....,\lambda x_{n}) = \lambda^r * f(x_{1},....,x_{n}) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ auf 2 Arten ausrechnen (einmal rechte und einmal linke Seite der obigen Gleichung ableiten).

Das Ergebnis kannst du gleichsetzen.

Grüße Abakus smile

28.03.2007, 09:12

framala

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@Abakus: Vielen Dank für deine Hilfe! Jetzt hab ich's verstanden. Augenzwinkern

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