Produktionstheorie

27.03.2007, 22:12

framala

Produktionstheorie

Hallo,

ich bräuchte dringend Hilfe bei folgendem Beweis:

$\begin{eqnarray*} ab^Tab^T = (b^Ta)ab^T \end{eqnarray*}$ ,wobei
$\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus!

27.03.2007, 22:30

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Du solltest dir einfach darüber klar werden, wofür die (unsichtbaren, weil symbolisch weggelassenen) Multiplikationszeichen zwischen deinen Symbolen da stehen:

Einmal für die Multiplikation von Matrizen (wobei wie üblich ein Spaltenvektor als nx1-Matrix und ein Zeilenvektor als 1xn-Matrix aufgefasst wird), und zum anderen für die Multiplikation eines Skalars (reelle Zahl) mit einer Matrix.

Wenn du das in deiner Zeile richtig zuordnest, sollte diese Identität bereits klar sein.

28.03.2007, 00:30

framala

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Zunächst danke für die Rückmeldung....

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich richtig verstanden habe. Mein bisheriger Ansatz war:

$\begin{eqnarray*} ab^Tab^T = \sum a_{ik}b_{jk} * \sum a_{ik}b_{jk} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b^Ta)ab^T \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum b_{jk}a_{ik} * \sum a_{ik}b_{jk} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\sum a_{ik}b_{jk} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\sum b_{jk}a_{ik} \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} ab^Tab^T = (b^Ta)ab^T \end{eqnarray*}$

Ergibt das einen Sinn?

28.03.2007, 01:08

tigerbine

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Ich denke, Arthur hat das anders gemeint. Schauen wir uns die Linke Seite mal unter verschiedenen Aspekten an:

$\begin{eqnarray*} a=\begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\a_n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^T =(b_1,...,b_n) \end{eqnarray*}$

Beides also Matrizen. Bei der Multiplikation dürfen wir das Assoziativgesetz anwenden. Dies eröffnet verschiedene Sichtweisen:

$\begin{eqnarray*} (ab^T)(ab^T) \end{eqnarray*}$

Dann ist durch

$\begin{eqnarray*} M:=ab^T \end{eqnarray*}$

eine nxn - Matrix definiert (Dyade, dyadisches Produkt) und es gilt:

$\begin{eqnarray*} (ab^T)(ab^T) = M^2 \end{eqnarray*}$

*****************************
$\begin{eqnarray*} a(b^Ta)b^T \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \lambda:=b^Ta \end{eqnarray*}$

ein Skalar (Standardskalarprodukt).

$\begin{eqnarray*} a(\lambda)b^T \end{eqnarray*}$

Nach den Rechenregeln, dürfen wir dann schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lambda (ab^T) = \lambda M = (b^Ta)ab^T \end{eqnarray*}$

was zu zeigen war Augenzwinkern

Abschließend fasse ich nochmal zusammen:

$\begin{eqnarray*} M^2 = (ab^T)(ab^T) = a(b^Ta)b^T = (b^Ta)ab^T = (b^Ta)M. \end{eqnarray*}$

28.03.2007, 03:20

WebFritzi

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@framala: Wie kommst du auf die komische Überschrift dieses Threads?

28.03.2007, 09:13

framala

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@tigerbine: Vielen lieben Dank für deine Hilfe! Jetzt hab ich's verstanden. Augenzwinkern

28.03.2007, 09:16

framala

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@WebFritzi: Hinsichtlich der Thread-Überschrift bin ich für Gegenvorschläge offen, allerdings hat sich mein Problem - dank tigerbine - schon gelöst. Augenzwinkern

28.03.2007, 12:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von framala
@WebFritzi: Hinsichtlich der Thread-Überschrift bin ich für Gegenvorschläge offen

Das beantwortet doch meine Frage nicht. Ich präzisiere sie: was ist Produktionstheorie?

Zitat:

Original von framala
allerdings hat sich mein Problem - dank tigerbine - schon gelöst. Augenzwinkern

Na und?

28.03.2007, 13:05

Lazarus

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