Logarithmische Integration

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jester. Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmische Integration
Guten Abend smile

Ich habe folgendes Integral zu lösen, das in meinem Mathebuch unter "Logarithmische Integration" aufgeführt ist:



Meine Idee ist eine Substitution , was mich zu führt. Das wiederum führt mich zu , aber es gelingt mir nicht, eine Stammfunktion für den letzten Integranden zu finden.

Könnt ihr mir dabei weiterhelfen? Köntn ihr mir außerdem sagen, ob ich hier das Substitutionsverfahren korrekt angewandt habe?
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, stimmt smile

Wenn wir jetzt aber davon ausgehen, dass ich verpflichtet bin, das Substitutionsverfahren so anzuwenden, wie ich es hier (nach bestem Wissen und Gewissen - wir haben es in der Schule noch nicht richtig besprochen) getan habe, wie sieht das dann aus?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

du substitutierst und damit ergibt sich
und somit steht nurnoch da ,
Das du leicht lösen kannst.
Danach resubstitution.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Ich verstehe leider garnicht, was du da geschrieben hast. Was bedeuten diese Ds? Ich kenne nur das dx in Verbindung mit dem Integralzeichen.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du hast das Substitutionsverfahren im Unterricht besprochen?
Wie habt ihr das dann gemacht ?
Und hier ist das doch in verbindung mit dem Integralzeichen verwirrt

Bitte um Aufklärung.
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Also es ist so, dass wir das Verfahren in kleinen Gruppen erarbeiten sollten, was uns allerdings nicht gerade leicht gefallen ist. Wir haben aber noch keine Besprechung der Ergebnisse dieser Gruppenarbeit gemacht, d.h. wir haben noch keine Lösung o.Ä. an der Tafel gesehen.

Ich habe auch schon ein paar Integrale mit dem Verfahren wie ich es oben angewandt habe gelöst, aber mit dieser logarithmischen Integration komme ich nicht zurecht.

Mit deinen Ds komme ich leider auch noch nicht klar.

Was bedeutet f'(x)dx=du? Hier steht das D ohne Integralzeichen. verwirrt
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Das brauchst du dir nicht zu merken.
Das ist die Leibniz Schreibweise.
Was du gelernt hast, ist die Lagrange Schreibweise.

Hauptsache du hast verstanden, wie es funktioniert!
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Anschaulich gesprochen wendet man ja die Kettenregel rückwärts an.
Also muss man auch das Nachdifferenzieren mit einbeziehen!

Setzt man nun muss man natürlich auch das hintem an Integral durch ein entsprechendes ersetzten. Dazu leitet man das oben gewählte nach symbolisch ab, sprich:


Letzteres ist einfach .
Evtl. erinnerst du dich mal ein gesehn zu haben. Ddas ist das gleiche.

Wie gesagt: das hintere ist einfach f'(x) und man hat zusätzlich eine abhänigkeit von dx du und f'(x) in der gleichung und bringt das dx einfach auf die andere seite und es ergibt sich . Damit kann man nun das dx im Intergral ersetzen und nach der neuen variablenen, u, integrieren.

klar ?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
klar ?


Leider noch nicht. unglücklich

Ich werde mir das ganze morgen noch mal anschauen.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja is evtl. hilfreich mal drüber zu schlafen.
Lies evtl. morgen auch nochmal den Wikiartikel wenn du willst.

Bei Fragen kannste natürlich immer stellen Augenzwinkern
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Aber dir ist bewusst, wofür das dx im Integral steht, oder?
Die "d's" bedeuten nichts anderes, als, uns jetzt versuch dich daran zu erinnern, als ihr mit Differentialrechnung angefangen habt, z.B. die Sekantensteigung ,

wobei diese dann infinitesimal klein gemacht werden. Anstatt dem Deltazeichen kann man dann eben auch einfach ein "d" nehmen, also

und zu guter letzt ist dy nichts anderes als die Änderung des Funktionswertes (eben die Änderung von "y"), also
.

Wenn du darüber mithilfe der anderen Posts etwas nachdenkst, wirst du schon sehen, warum du mit den Differentialen auch noch was machen musst Augenzwinkern

air
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs:

Edit: Latex verbessert
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nah dran, also ich habe



Wie lautet deine Stammfunktion?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
Das ist nah dran, also ich habe



Wie lautet deine Stammfunktion?


Meine Stammfunktion ist also quasi .

Und nachdem ich nochmal nachgerechnet habe, ist mir aufgefallen, dass ich doch sehr großzügig gerundet habe. Ich habe also das selbe raus wie du.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Dann ist ja alles gut
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Und noch ein Latexhinweis:
das dx kann man auch schöner mit \dd x machen und "ist gleich gerundet/ungefähr" schreibt sich \approx
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
Und noch ein Latexhinweis:
das dx kann man auch schöner mit \dd x machen und "ist gleich gerundet/ungefähr" schreibt sich \approx


Super, danke. smile

Der Spaß geht direkt weiter. Könnt ihr mir einen Tipp für das folgende Integral geben, ebenfalls aus dem Kapitel "Logarithmische Integration"?



Mein Problem hierbei ist, dass nicht mehr die Form vorliegt.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt doch nur der Vorfaktor...
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es liegt nicht die Form vor, aber du kannst es auf diese Form bringen.

Wie lautet die Ableitung des Nenners? Wie kannst du den so umschreiben, dass du die erste Ableitung im Zähler hast OHNE die gesamte Funktion zu ändern?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

aber fast.

Kennst du die Regel für alle Konstanten ?
Damit kannst du mit einem kleinen Trick Dein Integral auf "trimmen".
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
Ja, es liegt nicht die Form vor, aber du kannst es auf diese Form bringen.

Wie lautet die Ableitung des Nenners? Wie kannst du den so umschreiben, dass du die erste Ableitung im Zähler hast OHNE die gesamte Funktion zu ändern?


Die Ableitung des Nenners ist (sei n(x) das Nennerpolynom) , es fehlen also im Zähler. Aber ich wüsste nicht, wie ich die in den Zähler kriegen könnte, ohne die gesamte Funktion zu verändern. verwirrt
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
aber fast.

Kennst du die Regel für alle Konstanten ?
Damit kannst du mit einem kleinen Trick Dein Integral auf "trimmen".


Die Regel kannte ich nicht, ich kann sie aber nachvollziehen. Aber auch damit komme ich nicht weiter. Ich fürchte ich brauche noch mehr Tipps. geschockt
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Die Ableitung des Nenners ist (sei n(x) das Nennerpolynom) , es fehlen also im Zähler. Aber ich wüsste nicht, wie ich die in den Zähler kriegen könnte, ohne die gesamte Funktion zu verändern. verwirrt


Die Ableitung sieht schon mal sehr gut aus Freude

Nun musst du den Zähler, wie du bei der Ableitung siehst, mit 3 multiplizieren ( nicht addieren, da du dann wieder mehr x's hast)
Doch gleichzeitig musst du mit 0,333 multiplizieren, denn die Funktion darf sich nicht ändern.
Dann kannst du das ganze integrieren

editiert.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
Zitat:
Original von jester.
Die Ableitung des Nenners ist (sei n(x) das Nennerpolynom) , es fehlen also im Zähler. Aber ich wüsste nicht, wie ich die in den Zähler kriegen könnte, ohne die gesamte Funktion zu verändern. verwirrt


Die Ableitung sieht schon mal sehr gut aus Freude

Nun musst du den Nenner, wie du bei der Ableitung siehst, mit 2 multiplizieren ( nicht addieren, da du dann wieder mehr x's hast)
Doch gleichzeitig musst du mit 0,5 multiplizieren, denn die Funktion darf sich nicht ändern.
Dann kannst du das ganze integrieren


Meinst du mit 3 und (1/3) multiplizieren? 2 macht aus meiner Sicht keinen Sinn, aber:
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut Freude
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
Sehr gut Freude


Mir fällt grad allerdings auf, dass du den NENNER meintest. Wie hätte das denn dann aussehen sollen?

Meine Läsung ist übrigens
PG Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis ist richtig

Sry ich meine die gesamte Funktion ( bzw. Zähler) und deine hat mich verwirrt
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Vielen Danke an alle smile
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