Streckenverhaeltnis beweisen

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Muon Auf diesen Beitrag antworten »
Streckenverhaeltnis beweisen
Ich soll beweisen, dass eine Winkelhalbierende die gegenueberliegende Seite in dem Verhaeltnis der anliegenden Seiten teilt. Das gegebene Beispiel hat die Seitenlinien 3a und 2b - folglich teilt die Winkelhalbierende die dritte Seite im Verhaeltnis 3:2. (Siehe Skizze unten)

Nun habe ich die folgende Vektorengleichung aufgestellt:




folglich sind:



Wenn ich nun CM = MB loese, komme ich auf das nicht ueberraschende Ergebnis:



Nur kommt darin natuerlich weder x noch y vor - scheint mir als Beweis des Verhaeltnisses also nicht geeignet.

Wenn ich das so zu schreiben versucht habe, schaffe ich es nicht, die Gleichung auf die Form zu bringen unglücklich






Mache ich bei der Umformung etwas falsch, oder ist die Gleichung am Ende richtig und ganz einfach "unschoen"?
Auch wenn ich den Doppelbruch beseitige komme ich auf keine elegante Loesung:

Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast auf jedenfall einen Vorzeichenfehler gemacht. Wenn du mit Vektoren arbeitest musst du immer darauf achten, dass diese auch eine Richtung haben. Mein Tip: Zeichne diese ein und überlege dir dann welchen Weg du tatsächlich gehen möchtest.
Was die erste Rechnung angeht da kann ich nur vermuten das du mit M den Schnittpunkt der Diagonalen und mit C und B die Eckpunkte meinst. Aber gilt denn überhaupt CM=BM oder wolltest du nicht in Wirklichkeit etwas ganz anderes zeigen?
Muon Auf diesen Beitrag antworten »

Neue Skizze am Ende und ein neuer Loesungsansatz Augenzwinkern

Volgende Vektoren sind bestimmt: (da es doch einige sind, lasse ich Latex mal weg - "a" und "b" sollen aber vektoren sein, x und y gesuchte Unbekannte)

AB = 3a
AC = 2b
CB = 3a - 2b
MB = x (3a - 2b)
AM = y (3a + 2b)

Nun sollte ich da doch eine Vektorkette benutzen koennen - da sie linear unabhaengig sind, gibt es nur eine triviale Nullstelle.

Nun habe ich folgendes geloest:

AM + MB - AB = 0

Damit habe ich 'herausgefunden' in welchem Verhaeltnis die Winkelhalbierende durch CB getrennt wird (1:1 - welche Ueberraschung Augenzwinkern )

Scheint also mindestens der richtige Loesungsansatz zu sein!

Doch: welche Vektorenkette sagt mir, in welchem Verhaeltnis CM und MB stehen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt, bin ich etwas am Zweifeln, ob das mit einer Vektorkette geht. Ich sehe da nämlich keine Stelle, wo du einbaust, daß du da eine Winkelhalbierende hast.

Bessere Chancen hast du da mit dem Sinussatz. Drücke dazu die Verhältnisse und über den Sinus der entsprechenden Winkel aus.
Muon Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage stammt aus einer "Einfuehrung in die Vektorrechnung" - dein Beispiel mit den Winkeln scheint doch etwas zu kompliziert?

Ein "Hinweis" war die Berechnung der Vektoren, die ich aufgelistet habe - mit Hilfe dieser, sollte es zu berechnen sein.

Leider kann ich nicht mehr als das anfuegen, ich habe meine Ideen ausgeschoepft unglücklich
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

bekanntlich gilt



mit






hast du im den vektorzug:



alles einsetzen und zusammenfassen ergibt:



und daraus



und hurra




werner
 
 
Muon Auf diesen Beitrag antworten »

@Werner

Danke fuer die ausfuehrliche Rechnung, aber ich glaube Du hast etwas anderes berechnet: Wenn ich deine Rechnung richtig nachvollziehe, dann ist das Resultat die Laenge der Winkelhalbierenden CD?

Auf deiner Skizze waere die Frage aber nach dem Verhaeltnis von AD zu DB, welches gleich dem Verhaeltnis der anderen beiden Seiten des Dreiecks (CA und CB) sein muss. Das gilt es zu beweisen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

genau dieses habe ich berechnet

oder exakter



ich dachte, das wäre dann klar.
da habe ich es leider schlecht dargestellt unglücklich

edit: du kannst ja den vektorzug im dreieck DBC rechnen


werner
Muon Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich die Laenge der Winkelhalbierenden nicht viel einfacher berechnen, in dem ich rechne? (Um bei deiner Skizze zu bleiben)
Denn CA + CB ist die Diagonale des Rhombus mit den Seiten CA und CB und Punkt D ist in der Mitte des Rhombus. (Wobei der Rhombus einfach aus der Spiegelung des Dreiecks entstehen wuerde)

Sorry, aber ich versuche es richtig zu verstehen Hammer
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nein leider nicht, du hast es auf den punkt gebracht. die diagonale halbiert den winkel im parallelogramm NUR, wenn die seiten gleich lang sind, wenn es sich also (zumindest) um einen rhombus handelt- (ein quadrat geht natürlich auch).
daher kannst du nur die einheitsvektoren, die beide die länge l = 1 haben, verwenden.
die seiten CA und CB sind aber NICHT gleich lang,
(und der faktor 0.5 ist etwas, das ich nicht genau verstehe)

wieso sorry, das ist doch super Freude
frage nur weiter.

werner

unter uns: ich finde das beispiel als "einführung in die vektorrechnung" eher mäßig, denn das setzt das wissen um die winkelsymmetrale voraus.
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