Zentrale Momente

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28.03.2007, 13:46	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Zentrale Momente Hallo, Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe: Ich habe eine Tabelle mit Häufigkeit und Anzahl eines Ereignisses. Dazu die berechnete Standardabweichung,Varianz, Anzahl der Messungen und Gesamtzahl der Ereignisse. Ich soll jetzt die zentralen Momente berechnen. Dazu habe ich folgendes: $\begin{eqnarray} c_1 = <(x-<x>)> \end{eqnarray}$ Mittelwert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_2 = <(x-<x>)^2> \end{eqnarray}$ Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 = c_2(\mu) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_3 = <(x-<x>)^3> \end{eqnarray}$ Schiefe S $\begin{eqnarray} = c_3(\mu)/\sigma^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_4 = <(x-<x>)^4> \end{eqnarray}$ Kurtosis K $\begin{eqnarray} = c_4(\mu)/\sigma^4 -3 \end{eqnarray}$ Nun meine Frage: was ist $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und was ist $\begin{eqnarray} <x> \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ist doch der Mittelwert und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ die Standardabweichung oder? Ich hoffe mir kann jemand helfen. Es ist ziemlich dringend. LG Chris
29.03.2007, 08:58	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentrale Momente Ich hätte die gleiche Frage gestellt. Grundsätzlich zur Unterscheidung, zentrale Momente sind auf den Erwartungswert bezogen, während Anfangsmomente dies nicht sind. Das erste Anfnagsmoment ist zum Beispiel der Erwartungswert, das zweite Zentralmoment die Varianz. (Das erste Zentralmoment ist übrigens immer gleich null.) Von daher könnte ich mir nur sowas in Richtung: Erwartungswert: $\begin{eqnarray} E(X) \end{eqnarray}$ Varianz: $\begin{eqnarray} E[X-E(X)]^2 \end{eqnarray}$ etc. vorstellen. Die restlichen Definitionen von Schiefe und Kurtosis folgen aus den Momenten und sind auf die Normalverteilung bezogen, Schiefe = 0, Kurtosis = 3.
29.03.2007, 09:48	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Und was ist X ? Zuallfsvariable? LG Chris
29.03.2007, 10:23	<Manuel>	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zentrale Momente Hallo Chris, ja, X ist eine diskrete oder stetige Zufallsvariable. Die letzte Formel aus Deinem ersten Beitrag müsste IHMO der sog. Exzess = Kurtosis - 3 sein. Grüße Manuel
29.03.2007, 10:52	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Jezt ist z.B. x=15 und mein Mittelwert ist 34,0625 Dann würde doch meine Rechnung für das erste Moment so aussehen: (x-E(X)) = (15-34,0625) = -19 ich habe aber gedacht dass das erste Moment immer null ist. Das zweite: (x-E(X))^2 =(15-34)^2=361 Das dritte: (x-E(X))^3=(15-34)^3=-6859 das vierte: (x-E(X))^4=(15-34)^4=130321 aber das kann doch so irgendwie nicht stimmen. Wie geht das denn richtig? LG Chris
29.03.2007, 15:02	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X-E(X) \end{eqnarray}$ ist auch kein Moment, $\begin{eqnarray} E[X-E(X)] \end{eqnarray}$ hingegen ist das erste Zentralmoment, für das wegen der Linearität des Erwartungswertes gilt: $\begin{eqnarray} E[X]-E[E(X)]=E(X)-E(X)=0 \end{eqnarray}$ . Im diskreten Fall musst du summieren und durch die Anzahl der Freiheitsgrade dividieren, im stetigen Fall integrieren. Schau dir doch einfach mal die Berechnungsweise des Stichprobenmittelwertes an und der Stichprobenvarianz. Der Rest ist analog!
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29.03.2007, 16:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
LaTeX-Tipp: \langle und \rangle benutzen statt < und >, sieht netter aus: $\begin{eqnarray} \sigma^2 = \langle (X - \langle X \rangle)^2 \rangle \end{eqnarray}$
29.03.2007, 19:25	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Sagen wir mal wir haben folgende "Tabelle": A - B A= Anzahl der Ereignisse 0 - 3 B= Häufigkeit 1 - 4 2 - 6 3 - 9 4 - 13 5 - 23 6 - 44 Was wäre dann hier ein Erwartungswert? Bzw. wie kommt man darauf? Kann mir das so jemand erklären oder wenn man es so nicht machen kann auch anders. Wäre wirklich super!!! LG Chris
29.03.2007, 21:42	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt mal versucht, das 2. und 3. Moment zu berechnen. das zweite: $\begin{eqnarray} \langle (x- \langle x \rangle )^2 \rangle = E((x-E(x)^2) = E(x^2-2E(x)x+E(E(x)^2)) = E(x^2)-2E(x)^2+E(x)^2 = E(x^2)-E(x)^2 \end{eqnarray}$ und das dritte: $\begin{eqnarray} \langle (x- \langle x \rangle )^3 \rangle = E((x-E(x)^3) = E(x^3-3E(x)x+E(E^2(x)^3)) = E(x^3)-3E(x)^2+E^2(x)^3 \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig oder stimmt da was nicht? LG Chris
30.03.2007, 00:03	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war gerade in meinem letzten Beitrag falsch!!! Das sind jetzt denke ich die korrekten Momente: $\begin{eqnarray} c_1 = E(x) - E(x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_2 = E(x^2)-E(x)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_3 = E(x^3)-E(x)^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_4 = E(x^4)-E(x)^4 \end{eqnarray}$ Jetzt hätte ich dazu aber eine Frage und zwar was der zwischen E(x^2) und E(x)^2 ist. Und wie rechnet man jetzt hiermit richtige "Zahlenwerte" aus? Kann mir da mal jemand ein Beispiel geben? LG Chris

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