exponentialfunktion

28.03.2007, 14:44

princess x3

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exponentialfunktion

hey =)

ich brauch' DRINGEND eure hilfe . . ich muss so ne total bescheuerte hausaufgabe auf folie machen & versteh' echt nur bahnhof x( . . wär' sehr lieb wenn mir des irgendjemand verständlich erklären könnte . .

also die aufgabe lautet folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x+1}{e^x} ; g(x)=\frac{x+3}{e^x} ; Df = Dg = R \end{eqnarray*}$

a) Zeichne Gf und Gg im Bereich [-2;3].
b) Berechne den Inhalt der Fläche, die von der x-Achse, der Geraden x=t(t>-1) und den beiden Graphen begrenzt ist. Was ergibt sich für t~>+unendlich?

schomma vielen dank im vorraus für eure hilfe smile

smile

28.03.2007, 14:53

PG

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Hi

a) Das kannst du wahrscheinlich selbst (Wertetabelle) Augenzwinkern

Augenzwinkern

b) Du hast hier eine Integrande gegeben und die Nullstelle von beiden Funktionen ist jeweils das andere Integrand

Zitat:

Berechne den Inhalt der Fläche, die von der x-Achse, der Geraden x=t(t>-1) und den beiden Graphen begrenzt ist.

Ob hier die Fläche zwischen den beiden Graphen oder eines Graphen und der x-Achse( so mit zwei unterschiedliche Rechnungen) weiß ich nicht. Die Aufgabe ist zu komisch gestellt.

Vielleicht kannst du das uns sagen oder weißt du das selber nicht?

Der Ansatz wäre:
$\begin{eqnarray*} \int^{t}_{x_0}(f(x))~\dx \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} \int^{t}_{x_1}(g(x))~\dx \end{eqnarray*}$
wobei x die Nullstellen der Funktionen sind.

oder ist es so gemeint:
$\begin{eqnarray*} \int^{t}_{x_1}(g(x))~\dx~-~\int^{t}_{x_0}(f(x))~\dx \end{eqnarray*}$

?? Wenn du es nicht weiß, muss hier jemand anderes einschreiten

28.03.2007, 14:57

princess x3

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g(x) hat doch in diesem intervall überhaupt keine nullstelle oder? ich versteh' nich mal wie man des integrieren muss weil wir sowas eig noch nich gemacht haben sondern erst beim kurvendiskussion mit der exponentialfunktion sind :x

28.03.2007, 15:02

PG

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Der Graph g hat in dem Intervall, das du zeichnen musst, in der Tat keine Nullstelle.
Aber bei Aufgabe b) ist g(x) (und auch f(x) ) in einem anderen Intervall eingeschränkt, nämlich die Nullstelle und x=t

Ich würde die Umkehrung der Produktregel anwenden

28.03.2007, 15:24

princess x3

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mir sagt des im prinzip grad alles gar nichts . . mein problem an der ganzen sache is dass ich nich weiß wie man des integrieren soll geschweige denn wie man irgendwas mit t ausrechnen soll wenn nichma ne zahle gegeben is . .

28.03.2007, 15:31

PG

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Mal ne andere Frage:
Welche Regeln von Integrationen hattet ihr schon?

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28.03.2007, 15:35

princess x3

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ich weiß gar ned was du mit regeln meinst ich kapier' davon null . . ich kenn' des nur dass ma des integral von der einen funk von dem integral der andern funk abziehen muss um den flächeninhalt zu bekommen mehr weil ich davon ned

28.03.2007, 15:39

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} f(x)&=&\frac{x+1}{e^x}\\g(x)&=&\frac{x+3}{e^x} \end{eqnarray*}$

Regeln die aus dem Unterricht bekannt sein sollten:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{b}~f(x)~\dd x=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int~f(x)~\dd x - \int~g(x)~\dd x=\int~f(x)-g(x)~\dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{a}^{\infty}~f(x)~\dd x =\lim_{b\to \infty} \int\limits_{a}^{b}~f(x)~\dd x = \dots \end{eqnarray*}$ siehe oben

Ist $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eine Parameter so ergibt sich durch Integration eben eine neue Funktion in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion gibt deine Fläche in Abhänigkeit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ an.
Alles was du nun noch zu tun hast, ist eine Grenzwertbetrachtung für diese Flächenfunktion zu machen.

28.03.2007, 15:39

PG

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Aber dann kennst du auch einige Integrationsregel.
Wahrscheinlich die Integration von Potenzfunktionen, partielle Integration, Integration durch Substitution, Integration durch Partialbruchzerlegung uvm.

Wenn das eine von dem anderen abgezogen wird (wie du es nennst smile

smile

)
dann erhält man die Fläche.
Warum erhält ihr solche Aufgaben, wenn ihr die Regel noch nicht könnt? Ich weiß nicht, was bei euch vorausgesetzt ist.
Hoffentlich kann dir jemand anderes helfen.

edit: Danke Lazarus

28.03.2007, 15:50

princess x3

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ya also was bei uns vorausgesetzt wird kann ich dir sagen . . unsre lehrerin is der meinung dass wir im prinzip eh schon alles können müssten von daher hat sie auch nicht die lust oder zeit (da sie mind jede 2te woche nicht da ist) uns des noch einmal zu erklären . . des weiteren sind mittlerweile schon einige leute aus unserm mathe LK freiwillig zurück in die 11te klasse weil sie den stoff & die anforderungen einfach nicht gepackt haben . .

also zu der aufgabe ich glaub' langsam versteh' ich des ganze so halb:

$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{t}~f(\frac{x+3}{e^x})~dx - \int_{-1}^{t}~f(\frac{x+1}{e^x})~dx \end{eqnarray*}$

wobei ich mir nich sicher bin ob der ansatz stimmt . .

28.03.2007, 15:56

PG

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Zitat:

Original von princess x3
$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{t}~f(\frac{x+3}{e^x})~dx - \int_{-1}^{t}~f(\frac{x+1}{e^x})~dx \end{eqnarray*}$

Das f kannst du jeweils weglassen, ansonsten stimmt das
$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{t}~(\frac{x+3}{e^x})~\dx - \int_{-1}^{t}~(\frac{x+1}{e^x})~\dx \end{eqnarray*}$

edit: Jetzt musst du die Integrationsregeln anwenden können.

28.03.2007, 15:59

princess x3

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da is scho des nächste problem ich brauch' ya etz ne stammfunktion damit ich integrieren kann aba ich nich' wie man die bildet :x

28.03.2007, 16:04

PG

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Also dein Ansatz ist richtig.
Der Rest ist wie immer nur noch rechnen, also ein Kinderspiel.

Die Regel für die Umkehrung der Produktregel(partielle Integration) lautet:

$\begin{eqnarray*} \int u'(x)v(x)\dx=u(x)v(x)-\int u(x)v'(x)\dx \end{eqnarray*}$

http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrec...lle_Integration

28.03.2007, 16:09

princess x3

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also partielle integration ham wir noch nich gemacht ^^
aba ich hab' etz durch weng raten & probieren ne stammfkt von f & g gefunden die müssten evtl
$\begin{eqnarray*} F(x) = - \frac{x+3}{e^x} + \frac{1}{e^x} ; G(x) = \frac{x+3}{e^x} - \frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$ sein

28.03.2007, 16:14

PG

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Also die Stammfunktion F(x) ist richtig

Die G(x) stimmt nicht so, Du hast nur einen Vorzeichenfehler gemacht.
Wie auch immer du durch Raten darauf kamst...
Wie hast du das gemacht?

28.03.2007, 16:21

princess x3

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wir haben über des thema letzte mathestunde auch ne ex geschrieben & da sollte man die stammfunktion durch die stammfunktion F(x)=ax²+bx+c finden & des ging ya im prinzip so ähnlich . . wo ist denn der fehler in G(x)

28.03.2007, 16:41

PG

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Der erste Glied muss negativ sein.

28.03.2007, 16:48

princess x3

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yuhuu ich bin etz mit der gesamten aufgabe fertig . .
als lösung hab' ich $\begin{eqnarray*} -2e^{-t}+2e^3 <br /> & als grenzwert für t gegen +\infty: \lim_{x \to \infty}~{\frac -2e^{-t}+2e^3} = 2e^3 \end{eqnarray*}$
ich hoff' mal des stimmt jetzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.03.2007, 16:58

PG

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Da sind einige Fehler. Man erkennt nichts.
Korrigiere die LateX-Fehler

28.03.2007, 17:16

princess x3

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also irgendwie komm' ich mit dem latex auch ned so klar +grmL+ . . das ergebnis von mir ist:
$\begin{eqnarray*} -2e^-t + (- \frac{1}{e^-3} + \frac{1}{e^-1}) \end{eqnarray*}$
& als grenzwert für t gegen +unendlich dann auch $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{e^-3} + \frac{1}{e^-1} \end{eqnarray*}$ weil der erste teil gegen 0 geht

28.03.2007, 17:30

PG

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Also dein Ergebnis ist wieder wegen den Vorzeichen falsch.

Wenn du deins im Taschenrechner eingibst, so erhalten wir eine Fläche, die NEGATIV ist. Aber negative Flächen gibt es nicht.
Ich habe genau das gleiche raus, aber nur das Vorzeichen ist anders, also

$\begin{eqnarray*} A=-\frac{2}{e^t}+\frac{1}{e^{-3}}-\frac{1}{e^{-1}} \end{eqnarray*}$

28.03.2007, 18:06

princess x3

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des mit den vorzeichen is mir dann im nachhinein auch aufgefallen & ich hab's auch berichtigt somit bekomm' ich dann die selbe fläche raus wie du was dann ya letztendlich stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

dankeschön für die tolle hilfe auch wenn ich mich phasenweise etwas blöd angestellt hab' +g+

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