Bestimme z so, dass die Gleichung nur eine Lösung hat

28.03.2007, 19:35

Elwood

Bestimme z so, dass die Gleichung nur eine Lösung hat

Hallo erstmal!

Ich bräuchte mal Hilfe bei dieser Gleichung:

$\begin{eqnarray*} (z+1)*x^2+x+z=0 \end{eqnarray*}$

Aufgabe ist es, z so zu bestimmen, dass die Gleichung nur eine einzige Lösung hat.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich es in die Allgemeine Form bringen kann, bzw. es in die Pq-Formel einsetzen kann.

Mein bisheriger Lösungsansatz sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} (z+1)*x^2+x+z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> zx^2+x^2+x+z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> 2zx^2+x^2+x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> 2z2x^2+x=0 \end{eqnarray*}$

Okey, aber wie nun weiter? Ich hab es mit faktorisieren versucht, aber ohne großen Erfolg:

$\begin{eqnarray*} <=> 2(z*x^2)+x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> z*x^2+\frac{x}{2}=0 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, oder mir einen anderen Lösungsansatz zeigen (und am besten auch erklären!).
Danke

28.03.2007, 19:42

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bestimme z so, dass die Gleichung nur eine Lösung hat
setze die diskriminante (ausdruck unter der wurzel) der quadratischen gleichung in x D= 0, das liefert das gesuchte z.
werner

28.03.2007, 19:47

Elwood

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bestimme z so, dass die Gleichung nur eine Lösung hat

Zitat:

Original von wernerrin
setze die diskriminante (ausdruck unter der wurzel) der quadratischen gleichung in x D= 0, das liefert das gesuchte z.
werner

Danke erstmal, aber die Diskreminante ist ja der Ausdruck unter der Wurzel in der Pq-Formel (oder?). Aber ich komme erst gar nicht zur Pq-Formel.

Oder kann ich auch so die Diskreminante einer beliebigen Wurzel nehmen, ganz ohne Pq-Formel?

28.03.2007, 19:49

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht vergessen sollte man aber auch den Fall $\begin{eqnarray*} z=-1 \end{eqnarray*}$ , wo sich eine einfache lineare Gleichung mit natürlich genau einer Lösung ergibt ... Augenzwinkern

29.03.2007, 02:01

Yazgan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Bestimme z so, dass die Gleichung nur eine Lösung hat
das geht doch gar nicht !!!!!
pass auf wenn du die diskriminante gleich 0 setzt, dann liefert die gleichung 2 werte für z , nämlich z=1 oder z=-1 , denn die Diskriminante lautet so D= (z/2)²- 0,5

setzt man für z=1 ein , bekommt man gar keine Nullstellen (also gar keine x-Werte , is auch logisch , denn der graf is um die y-Achse verschoben , aber auch für andere Werte würde es keine X-Werte geben, weil der Graf dann entweder nach oben verschoben ist ,öffnung nach oben geöffnet oder nach unten verschoben und die öffnung nach unten geöffnet) .... das kann dann nur z=-1 sein , denn die quadratische gleichung wird dann zu einer linearen gleichung
f(x)=X-1 (und das is ja eine Gerade mit steigung m=1 und y-achsenabschnitt von -1 und die Nullstelle x=1) und somit is die Aufgabe dann gelöst !!! Augenzwinkern

LG
Yazgan

29.03.2007, 07:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Yazgan
denn die Diskriminante lautet so D= (z/2)²- 0,5

Nein, lautet sie nicht. Und z=-1 ist zwar eine Lösung, wie ich in meinem Beitrag schon erwähnt habe, aber es gibt auch noch andere Lösungen, die sich aus Diskriminante=0 ergeben - aus der richtigen Diskriminante...

29.03.2007, 23:22

Yazgan

Auf diesen Beitrag antworten »

neeeeeeeeeiiiinnn , für z=1 wird die Diskriminate zwar gleich 0 !!
aber setze z mal dann ein für 1 !!!!! da kommt definitiv keine LÖSUNG °!!!!!!!! NUR FÜR z=-1
Und die Diskriminante ist auch soo richtig !!!!

29.03.2007, 23:51

Auf diesen Beitrag antworten »

Statt rumzubrüllen solltest du mal nachrechnen: Die Diskriminante der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$

lautet $\begin{eqnarray*} D=b^2-4ac \end{eqnarray*}$ . Im vorliegenden Fall $\begin{eqnarray*} (z+1)x^2+x+z=0 \end{eqnarray*}$ führt das zu

$\begin{eqnarray*} D=1-4z(z+1) \end{eqnarray*}$ ,

und die Lösungen dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} D=0 \end{eqnarray*}$ ergibt die (abgesehen vom oben erwähnten z=-1) restlichen beiden Werte für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , wo die gegebene Gleichung genau eine x-Lösung hat.

Neue Frage »

Antworten »

Bestimme z so, dass die Gleichung nur eine Lösung hat

Verwandte Themen