Ableitung mit Euler- Zahl

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SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung mit Euler- Zahl
Hi!
Benötige BITTE Hilfe. Angeblich soll die folgende Funktion entweder df/dx = -x oder aber die entsprechende Wachstumsrate -x sein. Kann dies aber nicht nachvollziehen. Die funktion ist:
f(x) = (1-c1) / (c2-c1)
mit c1 = e hoch (x-a)A und c2 = e hoch (x-a)B,
wobei a, A und B Konstanten sind und e = Euler sowie B < A.
Inhaltlich könnte man annehmen, daß 1 / Nenner = 0 ist, wobei ich mir aber nicht sicher bin, ob dies erforderlich ist.

Vielen lieben Dank für Eure Hilfe! smile
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung mit Euler- Zahl
Zitat:
Original von SvenUni
Angeblich soll die folgende Funktion entweder df/dx = -x oder aber die entsprechende Wachstumsrate -x sein. Kann dies aber nicht nachvollziehen. Die funktion ist:
f(x) = (1-c1) / (c2-c1)
mit c1 = e hoch (x-a)A und c2 = e hoch (x-a)B,
wobei a, A und B Konstanten sind und e = Euler sowie B < A.

Du willst also wissen, was die erste Ableitung der Funktion



bzgl. x ist? Naja ... man erkennt jedenfalls schnell, dass ist.

Zitat:
Inhaltlich könnte man annehmen, daß 1 / Nenner = 0 ist, wobei ich mir aber nicht sicher bin, ob dies erforderlich ist.

Keine Ahnung, was du uns damit sagen willst.
 
 
SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung mit Euler- Zahl
Hi!

vielen Dank, daß Du auf meine Frage eingegangen bist. smile

Du hast die Funktion fast perfekt aufgeschrieben, nur müßten im Nenner die Symbole A und B vertauscht werden.

Ich will wissen (und es ggf. zeigen können), ob f´(x)=-x oder f´(x) / f(x) = -x ist.

Meine sicherlich unpräzise Aussage, die Du angesprochen hast, zielt auf eine Zerlegung in 2 Brüche. Es kann sein, daß obige Behauptungen unter der Annahme zu beweisen sind, daß 1 dividiert durch den Nenner den Wert 0 ergibt. Dies wurde jedoch nicht explizit angegeben.

Sven
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung mit Euler- Zahl
Dann leite die Funktion doch einfach mal mit Hilfe der Quotientenregel ab.

Zitat:
Original von SvenUni
Meine sicherlich unpräzise Aussage, die Du angesprochen hast, zielt auf eine Zerlegung in 2 Brüche. Es kann sein, daß obige Behauptungen unter der Annahme zu beweisen sind, daß 1 dividiert durch den Nenner den Wert 0 ergibt. Dies wurde jedoch nicht explizit angegeben.


verwirrt Ich zweifle irgendwie stark an dieser Bedingung.
SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Leider habe ich es mit der Quotientenregel schon sehr oft versucht, komme aber überhaupt nicht weiter. Ich würde hier wirklich keinen Beitrag schreiben, wenn ich nicht zuvor mehrere Stunden selber verzweifelt gerechnet hätte! BITTE seit doch so nett und helft mir, wahrscheinlich habe ich voll das Brett vor dem Kopf. smile

Danke!

Sven
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Funktion ist also



Aber definiere erstmal was hier genau mit "Wachstumsrate" gemeint ist.

mfg
SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Vielen Dank, dass Ihr mir helfen wollt. Die von phi aufgeschriebene Funktionsvorschrift ist korrekt.

Die Behauptung war, dass entweder die Ableitung f´(x) gleich - x sein soll oder die Wachstumsrate f´(x) / f(x) gleich -x sein soll.

Die Wachstumsrate ist also die Ableitung der Funktion nach x d.h. f´(x) dividiert durch die Funktion f(x).

Sven
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Dann zeig doch mal wie weit du mit der Quotientenregel kommst, zur Erinnerung:

SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich versuche es, bin aber noch totaler Latex- Anfänger:



Hoffe, daß es lesbar sein wird.

Im Anschluß an diese Ableitung finde ich aber keinen Ansatz, um auf das geschriebene Ergebnis zu kommen, egal, was ich auch weiter rechne.

Sven (eine neuer Latex- Freund?)
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung stimmt, bilde jetzt und poste mal wie weit du kommst.
SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »

Zwischenergebnis:



Ab jetzt habe ich das Gefühl, daß ich keine sinnvolle Umstellung mehr hinbekomme. smile
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Wachstumsrate f'/f ist, so kann man sich die Quotientenregel sparen..

Wie wärs mit der logarithmischen Ableitung:


(ln f)' =f'/f
SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Und hier auch noch das Zwischenergebnis für den Ansatz von Phi:





Ist das richtig? Hier nach komme ich leider auch nicht weiter...

Sven
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Im zweien Zähler minus statt plus! Dann aufn gleichen Nenner bringen.
SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »

Dann komme ich auf:



Ich meine zwar zu sehen, daß wegen A > B und A,B,x,a,>0 lt Aufgabe der Ausdruck negativ ist, mehr aber auch nicht.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Übersicht können wir wieder die Abkürzungen verwenden:

Du hast



das lässt sich auch so zusammenfassen:



Und die Ableitung (Probe der Quotientenregel) wäre

.


Zu beachten ist noch das die e-Funktion nie negativ wird.

mfg, phi
SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, habe ich nicht
A(c1-c1c2) - B(c2-c1c2) = (B-A)c1c2 - Bc2 + Ac1 ?

Oder war mein Zwischenergebnis falsch?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast noch den Vorzeichenfehler, den WebFritzi genannt hat, drin. Und ich hab ein Indizee falsch beim B-Term:

Aber wir beide haben den Hauptnenner vergessen !

Es ist


oder:



Und die Ableitung stimmt dann auch mit der Quotientenregel überein:

.

Ich hab noch durch (1-c1) gekürzt.


Um nun die Frage zu beantworten, welches nun gleich -x ist, fallen mir jetzt zwei Ideen ein: Die beiden Gleichungen mit -x gleichsetzen, oder prüfen ob die zweite Ableitung gleich -1 ist.

In welchem Zusammenhang steht die Aufgabe eigentlich ? Differentialgleichungen ?

PS: Achte darauf auch die linke Seite der Gleichung genau hinzuschreiben
SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es für das Gleichsetzen eigentlich einen überschaubaren Ansatz?

Ich hätte gesagt

x(c1-1)(c2-c1) = Ac1(c2-1) + Bc2 (1-c1)

Jetzt ausmultiplizieren? Bringt auch nicht viel, drehe mich wieder im Kreis.

Die Aufgabe stammt aus einem ökonomischen Modell. Es geht hier um die mathematische Ableitung von Modellergebnissen.

Sven
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr schonmal ähnliche Aufgaben gelöst ? Hier fehlt ein Kniff oder Trick.

müsste es nicht -x auf der linken Seite heißen?
SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig ist natürlich -x(c1-1)(c2-c1) = Ac1(c2-1) + Bc2 (1-c1)

Solche Aufgaben haben wir leider noch nie gelöst, so daß mir auch ein Kniff fehlt.

Ich hatte gedacht, beide Seiten ausmultiplizeren und dann nach x ableiten, was allerdings nur Chaos gebracht hat.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Auf jeden Fall eine intressante Aufgabe. Ich werde weiter überlegen. Falls du die Lösung noch rausbekommst oder erfährst, gib sie mal durch.

mfg, phi
SvenUni Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, werde ich machen!

Wirklich interessant, aber schwer....
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