Kurve-kleinster Abstand - rel.Fehler

28.03.2007, 22:48

iKo

Kurve-kleinster Abstand - rel.Fehler

Hallo, ich hab versucht folgende Aufgabe zu lösen, komme aber nicht sehr weit.

Zitat:

Bestimme den Punkt auf der Kurve y = x² mit dem kleinsten Abstand zum Punkt (9,0) bis auf einen (nachgewiesenen!) relativen Fehler von max. 10^-3

Weiss vielleicht jmd von euch Rat????

Bedanke mich schonmal im voraus...

Grüße
iKo

28.03.2007, 23:06

Mazze

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Das Ganze kann man sogar ganz genau lösen. Der euklidische Abstand d ist ja gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} d(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2} \end{eqnarray*}$

Du versuchst jetzt den Punkt auf der Funktion zu finden so das der Abstand zu (9,0) minimal ist, du willst also :

$\begin{eqnarray*} d(\begin{pmatrix} x \\ f(x) \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

minimieren, also das Minimum der Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{(x-9)^2 + x^4} \end{eqnarray*}$

finden, das kannst Du analytisch lösen, sprich Du kannst es sogar genau machen ohne einen Fehler angeben zu müssen.

29.03.2007, 10:54

riwe

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$\begin{eqnarray*} 2x³+x-9=0 \end{eqnarray*}$
bekommst du z.b. auch, wenn du die zu $\begin{eqnarray*} y = x² \end{eqnarray*}$ senkrechte gerade durch P aufstellst.
und wie mazze schon geschrieben hat, geht das auch exakt, aber mühsam.
du sollst also vermutlich ein näherungsverfahren (newton) verwenden mit

$\begin{eqnarray*} \delta=\frac{x_n-x_{n-1}}{x_{n-1}}\leq 10^{-3} \end{eqnarray*}$

werner

29.03.2007, 20:36

iKo

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hmmm... genau.. sind gerade beim Näherungsverfahren (newton) und Fehlerberechnung.

Ich muss ja jetzt, da ich $\begin{eqnarray*} f'(x) = (2x^3+x-9)/\sqrt{((x-9)^2+x^4)} \end{eqnarray*}$ habe, die $\begin{eqnarray*} 2x^3+x-9 = 0 \end{eqnarray*}$ setzen. Aber dann bräuchte ich ja eine Nullstelle um eine Polynomdivision durchzuführen. Die hab ich nich.. was nun? geschockt