Positiv definite Matrix

29.03.2007, 11:56

framala

Positiv definite Matrix

Hi,

ich bräuchte bei folgendem Beispiel Hilfe:

Gegeben sind die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} c_1 & 2 & 2 \\ 2 & c_2 & 1 \\ 2 & 1 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der Eigenvektor $\begin{eqnarray*} x^{T} = (1,0,-2) \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Für die Konstanten bekomme ich die folgenden Ergebnisse: $\begin{eqnarray*} c_1 = 5, c_2 = 0, c_3 = 2 \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß, dass die Matrix positiv definit ist, wenn ihre Eigenwerte > 0 sind.

Meine Frage dazu:

Gibt es weitere Bedingungen für die Konstanten, damit A positiv definit ist?

29.03.2007, 12:55

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Gibt es weitere Bedingungen für die Konstanten, damit A positiv definit ist?

Das Eigenwertkriterium gilt nur wenn die Matrix symmetrisch ist, und das ist sie ja in Deinem Fall. Und mit dem Eigenvektor kannst Du das ganze natürlich eindeutig auflösen, so das Du nur schauen musst wie die anderen Eigenwerte aussehen. Ansonsten gibt es noch Abschätzungen für die Einträge einer solchen Matrix, diese können dazu verwenden werden zu zeigen das eine Matrix nicht positiv definit ist.

edit: In etwa kann man für symmetrisch positiv definite Matrizen zeigen:

$\begin{eqnarray*} |a_{ij}| < \frac{a_{ii} + a_{jj}}{2} \end{eqnarray*}$

03.04.2007, 15:26

framala

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe! Hast mir sehr geholfen. smile

03.04.2007, 16:29

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Produkt der Eigenwerte (bei Vielfachheiten entsprechend mehrfach auch im Produkt) ist gleich der Determinante der Matrix. Ist also die Determinante nichtpositiv - so wie hier Augenzwinkern

- dann ist das bereits hinreichend dafür, dass die Matrix nicht positiv definit ist.

03.04.2007, 20:26

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Weiterhin kann man sogar zeigen das die mittleren Einträge einer positiv definiten Matrix alle > 0 sind, es sei nämlich $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ der Vektor aus Nullen der an der i-ten Stelle eine 1 hat, dann ist:

$\begin{eqnarray*} a_{ii} = (v_i)^TA(v_i) > 0 \end{eqnarray*}$

D.h in Deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} c_2 = 0 \end{eqnarray*}$ damit kann die Matrix schonmal nicht positiv definit sein.

Neue Frage »

Antworten »

Positiv definite Matrix

Verwandte Themen