gebrochen rationale funktion, 2 ableitung

29.03.2007, 13:01

N3M0

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gebrochen rationale funktion, 2 ableitung

die funktion ist ja folgende: $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{u(x)}{v(x)} \end{eqnarray*}$ und die erste ableitung wäre dann:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{u'\cdot v - u\cdot v'}{v^{2}} \end{eqnarray*}$

ist dann die zweite ableitung diese hier:

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{u''\cdot v'-u'\cdot v''}{ v^{3} } \end{eqnarray*}$ ?

und ist dann für die zweite ableitung das $\begin{eqnarray*} v' =u'\cdot v - u\cdot v' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u' = v^{2} \end{eqnarray*}$ ?

29.03.2007, 13:41

klarsoweit

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RE: gebrochen rationale funktion, 2 ableitung
Du mußt schon Variablen eindeutig verwenden. Und danach sieht es momentan nicht aus.

29.03.2007, 13:47

N3M0

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versteh nicht ganz was du meinst, ist die fragestellung unklar?

29.03.2007, 13:51

klarsoweit

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RE: gebrochen rationale funktion, 2 ableitung

Zitat:

Original von N3M0
und ist dann für die zweite ableitung das $\begin{eqnarray*} v' =u'\cdot v - u\cdot v' \end{eqnarray*}$

Ist das v auf der linken Seite das gleiche v wie auf der rechten Seite?

29.03.2007, 13:57

N3M0

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nein, das soll der zähler der ersten ableitung sein, stimmt ist etwas unglücklich ausgedrückt.

29.03.2007, 17:20

N3M0

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ist das denn richtig?

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29.03.2007, 17:56

brain man

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Zitat:

Original von N3M0
ist das denn richtig?

Sehr wahrscheinlich nicht. Quotienten leitet man allgemein mit der von dir geposteten Regel ab. Die 2. Ableitung eines Quotienten ergäbe sich nach dem allgemeinen Differenzialquotienten aus :

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\frac{d}{dx}u(x+h)*v(x+h)-\frac{d}{dx}v(x+h)*u(x+h)}{v(x+h)^2}}{h} \end{eqnarray*}$

Oder irre ich? verwirrt

verwirrt

29.03.2007, 18:34

N3M0

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gibts da keinen einfacheren weg?

29.03.2007, 19:13

klarsoweit

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RE: gebrochen rationale funktion, 2 ableitung
Irgendwie verstehe ich die Diskussion nicht. Du hast:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{u'\cdot v - u\cdot v'}{v^{2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt setze $\begin{eqnarray*} w_1 = u'\cdot v - u\cdot v' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2 = v^2 \end{eqnarray*}$

Dann hast du $\begin{eqnarray*} f' = \frac{w_1}{w_2} \end{eqnarray*}$ und du kannst wieder mit Quotientenregel loslegen.

29.03.2007, 19:26

N3M0

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also so wie geschrieben habe, nur eindeutiger formuliert?

dann wäre die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x^2-1} \end{eqnarray*}$ und die erste ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{-x^2-1}{ (x^2-1)^{2} } \end{eqnarray*}$ und die zweite

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2x^5+4x^3-6x}{(x^2-1)^3} \end{eqnarray*}$

oder?

29.03.2007, 19:35

klarsoweit

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Also die 2x^5 habe ich nicht.

29.03.2007, 19:40

N3M0

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hm... ich habe $\begin{eqnarray*} (x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$ aufgelöst zu $\begin{eqnarray*} x^4-2x^2+1 \end{eqnarray*}$ und dann abgeleitet zu $\begin{eqnarray*} 4x^3-4x \end{eqnarray*}$ und das selbe mit $\begin{eqnarray*} -x^2-1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} -2x \end{eqnarray*}$ anschließend bin ich nach dem schema von dir vorgegangen.

29.03.2007, 20:38

Rare676

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deine binomische formel ist falsch aufgelöst. der mittelteil ist falsch

29.03.2007, 21:17

Airblader

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Der erste Teil auch smile

smile

air

30.03.2007, 08:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von N3M0
hm... ich habe $\begin{eqnarray*} (2x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$ aufgelöst zu $\begin{eqnarray*} x^4-2x^2+1 \end{eqnarray*}$

Abgesehen von der falschen Auflösung würde ich das eher mit Kettenregel ableiten.

30.03.2007, 13:54

N3M0

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ich hab die falsch aufgeschrieben^^

$\begin{eqnarray*} (x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$ das führt doch dann mit der kettenregel zu
$\begin{eqnarray*} 4x^3-4x \end{eqnarray*}$

30.03.2007, 14:00

klarsoweit

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OK. Trotzdem würde ich die Klammer nicht auflösen, sondern Kettenregel nutzen. Schreibe doch mal deine Rechnung komplett hin.

30.03.2007, 14:12

N3M0

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$\begin{eqnarray*} w_2 =(x^2-1)^2 \Rightarrow 2(x^2-1)\cdot(2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2'=4x^3-4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_1=-x^2-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_1'=-2x \end{eqnarray*}$

30.03.2007, 14:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von N3M0
$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{-x^2-1}{ (x^2-1)^{2} } \end{eqnarray*}$ und die zweite

Wenn ich das mit obigem vergleiche, hast du w1 und w2 vertauscht. Aber Namen sind Schall und Rauch. Hauptsache es wird richtig gerechnet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2007, 14:28

N3M0

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habs geändert, muss ich das binom jetzt nicht auflösen für die ableitung?

30.03.2007, 14:40

klarsoweit

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Nein. Du mußt nur die Quotientenregel anwenden.

30.03.2007, 16:12

N3M0

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$\begin{eqnarray*} \frac{-2x(x^2-1)^2-[(-x^2-1)(4x^3-4x)]}{(x^2-1)^4} \end{eqnarray*}$

und jetzt klammern auflösen und zusammenfassen? richtig?

30.03.2007, 17:58

klarsoweit

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Stimmt prinzipiell so. Nur - wie ich schon sagte - ist es ein Nachteil, den Nenner auszumultiplizieren. Du kannst nämlich bei 4x³ - 4x sehr schön das 4x ausklammern und dann durch x²-1 kürzen.

30.03.2007, 18:13

N3M0

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ja, hab ich mittlerweile auch gemerkt, deswegen auch die ganze zeit das x^5, manchmal seh ich den wald vor lauter bäumen net

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^3+6x}{(x^2-1)^3} \end{eqnarray*}$

30.03.2007, 19:53

bounce

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Hey

http://www.calc101.com/german/

hier auf der seite kannste deine Rechung überprüfen

cya

30.03.2007, 20:48

N3M0

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thx, aber ich habn mathetool, welches mir die ableitungen anzeigt. nur leider sieht man nicht wie man hinkommt.

edit: hab grad gesehen, dass man auch zwischenschritte angezeigt bekommt, dass ist ganz nützlich...

03.04.2007, 11:22

sweety

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ich muss jetz nochma nachfragen:

warum kann ich nicht die binomische formel ausrechnen und dann ableiten?
ich versteh zwar, dass man da die kettenregel gut anwenden kann, aber ich versteh halt nicht, warum es nicht auch anders geht

03.04.2007, 11:34

klarsoweit

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Es geht auch anders. Aber die Erfahrung zeigt, daß man den Nennerfaktor zum Teil kürzen kann. Denn:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{Zaehler}{Klammer^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{Zaehler' \cdot Klammer^n - Zaehler \cdot n \cdot Klammer^{n-1} \cdot Klammer'}{Klammer^{2n}} \end{eqnarray*}$

Da kann man Klammer-hoch-(n-1) kürzen. Und das Kürzen geht eben nicht, wenn du die Klammer ausmultiplizierst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.04.2007, 11:36

sweety

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achso

smile

dankeschön!

03.04.2007, 13:11

N3M0

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wenn man nicht kürzt, ist das dann flasch oder sieht es mit kürzen nur besser aus?

03.04.2007, 13:15

klarsoweit

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Natürlich ist das eine so richtig wie das andere. Man spart sich halt für höhere Ableitungen viel Rechenarbeit.

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