Produkt aller Primitivwurzeln in einem Primzahlmodul

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therisen Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt aller Primitivwurzeln in einem Primzahlmodul
Hallo,

in () soll gezeigt werden: Das Produkt aller inkongruenten Primitivwurzeln ist kongruent 1 modulo p.

Der Fall ist trivial. Sei im Folgenden also . Nach dem Satz von Fermat-Euler (und etwas Vorwissen) genügt es zu zeigen, dass gilt:

Da gerade ist und größer oder gleich 2 (deswegen funktioniert p=3 nicht) können wir genau Paare von Zahlen bilden deren Summe gleich ist. Ist nämlich , so auch und , d.h. wir prüfen in der Summe nur die mit (jede solche Zahl besitzt genau einen Partner ).

Ist das (einigermaßen) nachvollziehbar und korrekt?



Gruß, therisen
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Produkt aller Primitivwurzeln in einem Primzahlmodul
Ja, ist es. Ich würde es eine Spur anders machen, mit im Grunde genommen derselben Idee - wobei das nicht auf Primzahlmodule beschränkt sein muss. Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Wenn du Zeit hast, könntest du dann mal skizzieren, wie du argumentieren würdest? Das würde mich interessieren. Die ganze Aufgabe erinnert mich ein wenig an den Satz von Wilson, bei dessen Beweis man auch ähnliche Paare von Zahlen bildet.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso ist es. Zunächst eine Hilfsaussage:

Zitat:
ist genau dann Primitwurzel, wenn Primitivwurzel ist.

Der Beweis dazu ist wohl nicht sehr aufwändig. Augenzwinkern

Außer im Fall kann man dann alle Primitivwurzeln zu Paaren mit Produkt 1 zusammenfassen. Der angesprochene Ausnahmefall ist nun aber äquivalent zu , was ja für , also im Widerspruch zur Primitvwurzeleigenschaft steht. Also tritt dort dieser Fall gar nicht auf, und die Paarbildung klappt.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr elegant smile

Meinem Beweis sieht man wohl an, dass ich erst einige Summen für verschiedene p's ausgeschrieben habe und dann "den richtigen Blick" hatte.


Gruß, therisen
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