Doppelintegral sinhx

29.03.2007, 18:25

icefloe

Doppelintegral sinhx

Hi
ich hab dieses Doppelintegral und komm da nicht so wirklich weiter:

$\begin{eqnarray*} \int^b_a\int^\frac{h}{2}_\frac{h}{2} \frac{r^3}{\sqrt{r^2+z^2}^3}dzdr \end{eqnarray*}$

wen ich es erstmal nach z integrieren würde, würde ein Ausdruck mit sinhx reinkommen bzw recht kompliziert mit ln.
Da weiß ich dann nich wie ich`s vereinfachen soll.
danke schon ma
lg

29.03.2007, 18:44

Cordovan

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Hm, ich würde sagen 0, oder? Du integrierst doch von h/2 nach h/2.

Cordovan

29.03.2007, 18:47

icefloe

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ups sorry unten fehlt das Minuszeichen

29.03.2007, 19:01

icefloe

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also sprich das soll heißen von -h/2 bis + h/2
sollte am ende auch was rauskommen, da es um ne Flussdichte geht
please help.

29.03.2007, 20:05

WebFritzi

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Intergriere zuerst nach r und verwende die Substitution

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt{r^2 + z^2}. \end{eqnarray*}$

29.03.2007, 21:13

icefloe

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mmh das hat ich auch schon probiert, aber ich bleib da schon an der substitution hängen

also das würd ja heißen

$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{r^2+z^2}\\dr=\frac{rdu}{\sqrt{r^2+z^2}}\\\int^b_a\frac{r^3}{\sqrt{u}^3}dr \end{eqnarray*}$

dann hab ich ja ne abhängigkeit von u und r????

30.03.2007, 02:27

WebFritzi

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Du solltest dir wohl die Substitution nochmal reinziehen. Das passt ja hinten und vorne nicht.

Zitat:

Original von icefloe
$\begin{eqnarray*} dr=\frac{rdu}{\sqrt{r^2+z^2}} \end{eqnarray*}$

Falsch! Wenn du "dr" und "du" vertauschst, stimmts allerdings.

Zitat:

Original von icefloe
$\begin{eqnarray*} \int^b_a\frac{r^3}{\sqrt{u}^3}dr \end{eqnarray*}$

Oha. Also "dr" hattest du schon. Du willst aber "du". Ersetze "dr" durch die obige - natürlich modifizierte - Formel. Und das r^3 solltest du auch noch durch einen Ausdruck ohne r aber mit u ersetzen.

30.03.2007, 08:48

icefloe

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na das ich dr durch du ersetze hab ich einfach mal nicht mit hingeschrieben, aber ist klar :-)
mein problem ist ja dann das ich oben eigentlich r^4 hab und wenn ich dann die substitutionsgleichung nach r umstell um nen ausdruck für u zu bekommen hab ich ja wieder ne wurzel die sich mit nichts kürzen kann, sprich der integrationsterm wird noch komplizierter.
stell mich vielleicht grad bissel doof an, aber ich komm einfach nich weiter.
lg

30.03.2007, 09:22

klarsoweit

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RE: Doppelintegral sinhx

Zitat:

Original von icefloe
$\begin{eqnarray*} \int^b_a\int^\frac{h}{2}_\frac{h}{2} \frac{r^3}{\sqrt{r^2+z^2}^3}dzdr \end{eqnarray*}$

Ich würde das erstmal so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \int^b_a\int^\frac{h}{2}_\frac{-h}{2}~\frac{x^3}{(\sqrt{x^2+y^2})^3}~dydx \end{eqnarray*}$

und dann die Substitution x = r*cos(phi) und y = r*sin(phi) machen.

Kennst du die Substitutionsregel für Mehrfachintegrale?

EDIT: allerdings könnte hier die Transformation der Integrationsgrenzen mehr Probleme bereiten, als einem lieb ist.

30.03.2007, 10:44

icefloe

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RE: Doppelintegral sinhx
mmh,
nee mit sin und cos weiß ich gar nich wie ich`s machen soll.
Also mir wurde halt eigentlich auch der tipp gegeben erstmal nach z zu integrieren.Aber wie gesagt dann hat man sinhx.
mmh wie`s aussieht habt ihr damit auch so eure Probleme.
Also falls noch jemand nen guten Vorschlag hat, wär ich sehr froh.
Wenn nicht dank ich euch trotzdem für die Mühe.
lg

30.03.2007, 10:59

klarsoweit

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RE: Doppelintegral sinhx
Ist in der Tat nicht so ganz einfach. Wenn man zuerst über z integriert, kommt man auf ein Intergral der Form
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{cosh^2(x)}~dx \end{eqnarray*}$

Da müßte ich jetzt auch im Bronstein nachschauen.

Wenn das Integral über eine Kreisfläche ginge, würde meine obige Substitution recht gut funktionieren. Vielleicht kannst du da noch was zu sagen, über welche Art von Fläche integriert wird.

30.03.2007, 11:07

icefloe

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RE: Doppelintegral sinhx
also es geht eigentlich um nen Hohlzylinder und ich soll das b-feld ausrechnen.
b und a sind die Radien und h die Höhe. Es war vorher ein Dreifachintegral, aber das hab ich dann schon so weit vereinfacht.

Wie kommst du bei integration nach z auf die Formel??
Wo ist das r^3 hin?

30.03.2007, 11:23

klarsoweit

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RE: Doppelintegral sinhx

Zitat:

Original von icefloe
Wie kommst du bei integration nach z auf die Formel??

Substitution z = r * sinh(x)

Zitat:

Original von icefloe
Wo ist das r^3 hin?

Das ist natürlich noch da und steckt im äußeren Integral. Ich hatte zur Vereinfachung nur das innere Integral aufgeschrieben.

Am besten schreibst du mal das Dreifachintegral hin. Da es sich um einen Hohlzylinder handelt, kann man eventuell was über Zylinderkoordinaten machen.

30.03.2007, 11:34

icefloe

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RE: Doppelintegral sinhx
so hier das ganze:

$\begin{eqnarray*} \vec{B}{0}=-\frac{\mu\rho\omega}{4\pi}\int^{\frac{h}{2}}_{-\frac{h}{2}}\int^{2\pi}_{0}\int^{b}_{a}\frac{r^2\vec{e_z}}{(r^2+z^2)^\frac{3}{2}}rdrd\phi dz \end{eqnarray*}$

01.04.2007, 10:04

klarsoweit

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RE: Doppelintegral sinhx
OK. Hatte nicht soviel Zeit.

Also das Integral ist schon in Zylinderkoordinaten. Momentan sehe ich keinen anderen Weg, als sich wieder auf dieses Integral zu konzentrieren:

$\begin{eqnarray*} \int^b_a \int^\frac{h}{2}_\frac{-h}{2} \frac{r^3}{(\sqrt{r^2+z^2})^3}dzdr = 2 \cdot \int^b_a \int^\frac{h}{2}_0~\frac{r^3}{(\sqrt{r^2+z^2})^3}dzdr \end{eqnarray*}$

Da machen wir jetzt die Substitution z = r*sinh(x), dz=r*cosh(x)*dx .
Das ergibt (ich lasse den Faktor 2 mal weg):
$\begin{eqnarray*} \int^b_a \int^{arsinh(\frac{h}{2r})}_0~\frac{r^3}{(\sqrt{r^2+r^2 \cdot sinh^2(x)})^3}~r \cdot cosh(x)~dxdr = \int^b_a \int^{arsinh(\frac{h}{2r})}_0~\frac{r \cdot cosh(x)}{(\sqrt{1+ sinh^2(x)})^3}~dxdr \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int^b_a \int^{arsinh(\frac{h}{2r})}_0~\frac{r}{cosh^2(x)}~dxdr \end{eqnarray*}$

Leider steht im Bronstein nichts zu $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{cosh^2(x)}~dx \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht kommt man mit der Substitution x = ln(u) weiter. Aber da möchte ich jetzt nicht den Sonntag drüber verbringen. Augenzwinkern

01.04.2007, 13:12

kiste

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$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{cosh^2(x)}~dx = tanh(x) + C \end{eqnarray*}$

01.04.2007, 20:39

WebFritzi

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Ich habe doch schon lange einen Vorschlag gemacht... Und damit lässt sich das innere Integral viel leichter lösen.

02.04.2007, 08:46

klarsoweit

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RE: Doppelintegral sinhx
Also fangen wir nochmal von vorne an:

$\begin{eqnarray*} \int^b_a \int^\frac{h}{2}_\frac{-h}{2} \frac{r^3}{(\sqrt{r^2+z^2})^3}dzdr \end{eqnarray*}$

Jetzt Substitution $\begin{eqnarray*} u(r)=\sqrt{r^2+z^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} du = \frac{rdr}{\sqrt{r^2+z^2}} \end{eqnarray*}$

Das führt zu:
$\begin{eqnarray*} \int^\frac{h}{2}_\frac{-h}{2} \int^b_a ~\frac{r^2}{r^2+z^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}~drdz = \int^\frac{h}{2}_\frac{-h}{2} \int^{\sqrt{b^2+z^2}}_{\sqrt{a^2+z^2}}~\frac{u^2-z^2}{u^2}~dudz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int^\frac{h}{2}_\frac{-h}{2} \int^{\sqrt{b^2+z^2}}_{\sqrt{a^2+z^2}}~(1-\frac{z^2}{u^2})~dudz = \int^\frac{h}{2}_\frac{-h}{2}~(\sqrt{b^2+z^2}-\sqrt{a^2+z^2} + z^2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{b^2+z^2}} - \frac{1}{\sqrt{a^2+z^2}}))~dz \end{eqnarray*}$

Nun ja, das sollte machbar sein.

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