Arten der Definitionslücken

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29.03.2007, 19:04	ebby	Auf diesen Beitrag antworten »
Arten der Definitionslücken Hallo, ich weiß zu dem Thema gibts schon einige Beiträge, aber ich bin trotzdem noch nicht schlau draus geworden.... Also wenn ich eine Funktion auf Definitionslücken untersuche, bestimme ich die Nullstellen des Nenners. Aber ich verstehe nicht, wie ich rausfinden kann, welche Art von Definitionslücke das ist, also eine behebbare oder ein Pol. Und dann wie man noch zwischen Pol mit und ohne Vorzeichenwechsel unterscheiden kann. Vielleicht kann es mir jemand an einem Beispiel erklären: $\begin{eqnarray} f(x)= (x^2-4x+4)/(x^4+x^3-6x^2) \end{eqnarray}$ Das wäre echt nett, lG
29.03.2007, 19:07	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^4+x^3-6x^2} \end{eqnarray}$ Definitionslücken sind alle Nullstellen des Nenners. Wie lauten diese ? Um nun entscheiden zu können ob es sich dabei um eine Polstelle handelt oder die Def-Lücke hebbahr ist, musst du auch den Zähler faktorisieren. Kansnt du dann etwas kürzen, war diese Lücke hebbar. Jede weitere, die stehn bleibt, steht für eine Polstelle. Je nach vielfachheit dieser Lücke ist dann eben der Pol m VZW oder ohne.
29.03.2007, 19:16	ebby	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal. Die Nullstellen des Nenners und somit die Definitionslücken lauten 0; 2; -3 Aber den Zähler kann ich doch gar nciht faktorisieren, weil da noch die Konstante (+4) ist. Also höchstens so: $\begin{eqnarray} x(x-4)+4 \end{eqnarray}$
29.03.2007, 19:32	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Nenner ist richtig, und Zähler: Also bitte !! Binomischer Formel !!
29.03.2007, 20:34	ebby	Auf diesen Beitrag antworten »
uups ja richtig, manchmal steh ich etwas auf dem Schlauch also aus $\begin{eqnarray} x^2-4x+4 \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} (x-2)^2 \end{eqnarray}$
29.03.2007, 20:37	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
und nun die magische frage: kannste kürzen? das war dann die hebbare lücke.
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29.03.2007, 20:37	ebby	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist 2 eine behebbare Lücke und die anderen beiden 0 und -3 sind Pole. Was meinst du mit Vielfachheit der Lücke??? Danke.
29.03.2007, 20:45	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
zb. symbolisch wäre $\begin{eqnarray} \frac{?}{(x-?)^2} \end{eqnarray}$ eine zweifache Lücke, denn man kann sie schreiben als $\begin{eqnarray} \frac{?}{(x-?)(x-?)} \end{eqnarray}$ und tritt somit zweimal auf (kein vzw)
29.03.2007, 20:59	ebby	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, das verstehe ich nicht. Also wir haben jetzt $\begin{eqnarray} ((x-2)²/(x²(x-2)(x+3)). \end{eqnarray}$ Weil der Faktor x-2 im Nenner und im Zähler auftaucht ist es eine behebbare Lücke. Die anderen Faktoren, nämlich x² und x+3, tauchen nur im Nenner auf. Das heisst nun was??? Danke für eure Bemühungen, einer Niete bei ihren -ihr werdet's nicht glauben- Abiturvorbereitungen zu helfen.
29.03.2007, 21:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Faktoren, die nur im Nenner stehen, bezeichnen die Polstellen. Wir erhalten diese Stellen einfach durch einzelnes Nullsetzen. Geometrisch befinden sich dort vertikale Asymptoten. mY+
29.03.2007, 21:59	ebby	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, danke, dass habe ich verstanden. Aber meine letzte Frage ist, wie unterscheide ich nun Pole mit oder oder Vorzeichenwechsel....
29.03.2007, 22:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Solange ein Linearfaktor nur einzeln im Nenner steht, also nicht mehrfach vorkommt, ist es eine Polstelle mit VZW. Kommt er mehrfach vor, dann geschieht bei geradzahliger Anzahl kein VZW. Wegen $\begin{eqnarray} x^2 = x \cdot x \end{eqnarray}$ tritt daher bei $\begin{eqnarray} x \to 0 \pm 0 \end{eqnarray}$ kein VZW auf. mY+
29.03.2007, 22:42	ebby	Auf diesen Beitrag antworten »
super, danke, alles verstanden!!!! Danke an alle schlauen Kerlchen!

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