Geometrische Reihe - Identität

30.03.2007, 10:33

Wehm

Geometrische Reihe - Identität

Hoi.

Für welche x gilt die Identität bei $\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}x^n = \sum^\infty_{n=0}(0.5)^{n+1} (x+1)^n \end{eqnarray*}$

Ich wende auf links und rechts mal die geom. Reihe an
$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Gilt für |x|<1

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}(0.5)^{n+1} (x+1)^n =0.5 \sum^\infty_{n=0}(0.5)^{n} (x+1)^n = 0.5 \sum^\infty_{n=0}((0.5)(x+1))^n = \frac{1}{1-\frac{1}{2*(x+1)}} \end{eqnarray*}$
Das gilt für $\begin{eqnarray*} |\frac{x+1}{2}|<1 \Rightarrow x=-3 und x=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in(-3,1) \end{eqnarray*}$

Und deswegen gilt die Identität für

$\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$

Darf man das denn so machen? Weil bei der nächsten Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0} x^{n} = - \sum^\infty_{n=1} x^{-n} \end{eqnarray*}$

klappt das irgendwie nicht so gut.

Die linke Summe hatte ich ja oben schon berechnet und gesagt, dass sie erfüllt ist für |x| < 1.

Dann die Rechte seite $\begin{eqnarray*} - \sum^\infty_{n=1} x^{-n} = - \sum^\infty_{n=0} (x^{-n}+1) = -1-\sum^\infty_{n=0} x^{-n} =-1-\sum^\infty_{n=0} (\frac{1}{x})^{n} = -1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Ist erfüllt für |x| > 1.

Hat das jetzt gar keine Lösung, ausser $\begin{eqnarray*} x=+\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-\infty \end{eqnarray*}$

Irgendetwas muss ja bei mir falsch laufen.

Gruß, Wehm.

30.03.2007, 10:46

klarsoweit

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RE: Geometrische Reihe - Identität

Zitat:

Original von Wehm
$\begin{eqnarray*} 0.5 \sum^\infty_{n=0}((0.5)(x+1))^n = \frac{1}{1-\frac{1}{2*(x+1)}} \end{eqnarray*}$

Da hast du zum einen das 0,5 vor der Summe unterschlagen und zum anderen die geometrische Reihe nicht richtig angewendet. Desweiteren ist nicht nur die Frage, für welche x die geometrische Reihe angewendet werden darf, sondern für welche x die Identität gilt. Da gibt es vermutlich noch Unterschiede.

30.03.2007, 11:34

Wehm

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Oh, das hatte ich vergeigt. Ich versuche es noch mal.

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}x^n = 0.5\sum^\infty_{n=0} (\frac{x+1}{2})^n \end{eqnarray*}$

Ich betrachte die linke Summe

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=0}x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Die geometrische Reihe kann man in diesem Fall für |x| <1 anwenden. Ich betrachte die rechte Summe
$\begin{eqnarray*} 0.5\sum^\infty_{n=0} (\frac{x+1}{2})^n = 0.5*\frac{1}{1-\frac{x+1}{2}} = 0.5\frac{1}{\frac{2-x-1}{2}} = 1/2\frac{1}{-x-1} = \frac{1}{-2x-2} \end{eqnarray*}$

Die geometrische Reihe kann man anwenden für |x+1|<2, also für x=-3, x=1

Ich setze die Ergenisse der geometrischen Reihe gleich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-2x-2} = \frac{1}{1-x} \Rightarrow 1-x = -2x-2 \Rightarrow x=-3 \end{eqnarray*}$

Was sagt mir jetzt dieses minus 3?

Die Identität kann ja nur für |x|<1 gelten, wegen der Gültigkeit der geometrischen Reihe, aber was sagt mir x=-3? Oder wie kann ich jetzt von der REchnung auf die Identität schließen?

Gruß, wehm.

30.03.2007, 11:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Wehm
$\begin{eqnarray*} 0.5\frac{1}{\frac{2-x-1}{2}} = 1/2\frac{1}{-x-1} \end{eqnarray*}$

Da stimmt die Umformung nicht. unglücklich

30.03.2007, 12:52

Wehm

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Ach herrje

$\begin{eqnarray*} 0.5\frac{1}{\frac{2-x-1}{2}} =\frac{1}{-x+1} \end{eqnarray*}$

Nun die Ergebnisse der geom. Reihe gleichsetzen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} =\frac{1}{-x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-1 = -1-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Gilt also für alle x. Und nun kann ich das mit Hilfe der Gültigkeiten für die geometrische Reihe eingrenzen auf $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt? verwirrt

30.03.2007, 12:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Wehm
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} =\frac{1}{-x-1} \end{eqnarray*}$

Wenn man davon absieht, daß dieses Zwischenergebnis nicht stimmt, ist das Endergebnis ok.

30.03.2007, 13:02

Wehm

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Wehm
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} =\frac{1}{-x-1} \end{eqnarray*}$

Wenn man davon absieht, daß dieses Zwischenergebnis nicht stimmt

Verstehe ich nicht, warum ist das falsch? Dann muss diese Umformung $\begin{eqnarray*} 0.5\frac{1}{\frac{2-x-1}{2}} =\frac{1}{-x+1} \end{eqnarray*}$ ja auch schon wieder falsch sein?

30.03.2007, 13:04

klarsoweit

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Die ist ok. Aber es leicht einzusehen, daß
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-x+1} \neq \frac{1}{-x-1} \end{eqnarray*}$
ist.

30.03.2007, 13:08

Wehm

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Ah, danke

Mal Hypothetisch, was wäre wenn dort x=2 herausgekäme? Inwiefern beeinflusst das dann die Identität, die würde dann nur für x=2 gelten, wenn das mit der Gültigkeit der geometrischen Reihe übereinstimmen würde. Also z.b. bei der linken summe hätte ich so etwas wie |x|>1 und bei der rechten dann von mir aus 1<x<3. Dann wäre die Identität nur für x=2?

Gruß, Wehm

PS: Danke fürs sehr fleißige Nachrechnen!!

30.03.2007, 13:11

klarsoweit

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Genau so wäre das.

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