Kreis / Tangente

30.03.2007, 14:23

outdoorboy

Kreis / Tangente

Hallo, ich suche nach den Formeln zur Auflösung aller 4 Tangenten an 2 Kreisen. Also 4 mal 2 Schnittpunkte.

Gegeben Kreis1: m1_x, m1_y und radius. Kreis2: m2_x, m2_y und radius.

cu

30.03.2007, 15:07

riwe

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RE: Kreis / Tangente
formeln verwirrt

da wirst schon ein bißerl rechnen müssen.
aber die strahlensätze sind auf jeden fall sehr hilreich
werner

30.03.2007, 18:35

outdoorboy

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RE: Kreis / Tangente

Zitat:

Original von wernerrin
formeln verwirrt

da wirst schon ein bißerl rechnen müssen.
aber die strahlensätze sind auf jeden fall sehr hilreich
werner

Das ist mir schon klar. Aber ich muß ja wissen was ich rechnen soll.

Also für die beiden Tangenten außen habe ich die Lösung. Mit Hilfe des Thaleskreis reduziert sich das auf Dreiecksberechnung oder die Schnittpunkte zweier Kreise.

Was wäre ein Lösungsweg für die sich kreuzenden Tangenten?

30.03.2007, 19:20

riwe

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RE: Kreis / Tangente
innen ist wie außen, zumindest bei den kreisen unglücklich

kannst ja mal die lösung für außen hier rein stellen,
dann geht es weiter.
werner

30.03.2007, 21:36

outdoorboy

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RE: Kreis / Tangente
Die Lösung:

Ich suche den Mittelpunkt der Strecke

mx = m1_x + ((m2_x - m1_x) / 2)
my = m1_y + ((m2_y - m1_y) / 2)

Radius mit Pytagoras bestimmen

wurzel aus (mx - m1_x)^2 + (my - m1_y)^2

Kreis um mx/my mit radius schneidet die zwei gegebenen Kreise
in den 4 Tangentenpunkten.

30.03.2007, 23:01

riwe

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RE: Kreis / Tangente
hast du diesen unsinn schon mal aufgezeichnet verwirrt

werner

edit: der einfachste weg geht vektoriell

$\begin{eqnarray*} K_1: (\vec{x}-\vec{m}_1)²=r²_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_2: (\vec{x}-\vec{m}_2)²=r²_2 \end{eqnarray*}$

dann bekommst du die NORMALENEINHEITSvektoren der äußeren tangenten so:

$\begin{eqnarray*} ((\vec{m}_1-\vec{m}_2) +(\mid r_1 - r_2\mid)\cdot \vec{n}_0)\cdot\vec{n}_0=0 \end{eqnarray*}$

und analog für die inneren

$\begin{eqnarray*} ((\vec{m}_1-\vec{m}_2) +( r_1 + r_2)\cdot \vec{n}_0)\cdot\vec{n}_0=0 \end{eqnarray*}$

und wenn du damit durch die mittelpunkte die geraden aufstellst, bekommst du die berührungspunkte der tangenten.
oder du bestimmst sie direkt über die HNF.

werner

31.03.2007, 16:09

outdoorboy

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RE: Kreis / Tangente
Zitat werner:

Zitat:

hast du diesen unsinn schon mal aufgezeichnet

nein!!! Das ist die Lösung die mir mit dem was ich kann einfällt.

K1: (50,100), r25
K2: (180,200), r50

$\begin{eqnarray*} \vec{m}_1 - \vec{m}_2 = \begin{pmatrix} 50 \\ 100 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 180 \\ 200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -130 \\ -100 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Huch! jetzt muß ich mich auch noch mit Latex rumschlagen.

Vektorrechnen ist mir nicht so geläufig. Habe niemanden der mir das erklären kann und das ganze nur aus Büchern ist ziemlich schwer.
Ist das obige aber soweit richtig?

$\begin{eqnarray*} \vec{n}_0 \end{eqnarray*}$

sagt mir garnichts.

Könntest du mir mal eine mit den Zahlen zeigen? Ausrechnen kann ich es dann schon.(denke ich jedenfalls)

31.03.2007, 16:45

riwe

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RE: Kreis / Tangente
ich zeige dir mal den vektoriellen weg.
muß jetzt weg, der rest folgt später, oder es gibt ja noch andere und bessere helferlein Freude

von oben:
der einfachste weg geht vektoriell

$\begin{eqnarray*} K_1 : (\vec{x}-\vec{m}_1)²=r²_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_2 : (\vec{x}-\vec{m}_2)²=r²_2 \end{eqnarray*}$

dann bekommst du die NORMALENEINHEITSvektoren der äußeren tangenten so:

$\begin{eqnarray*} ((\vec{m}_1-\vec{m}_2) +(\mid r_1 - r_2\mid)\cdot \vec{n}_0)\cdot\vec{n}_0=0 \end{eqnarray*}$

und analog für die inneren

$\begin{eqnarray*} ((\vec{m}_1-\vec{m}_2) +( r_1 + r_2)\cdot \vec{n}_0)\cdot\vec{n}_0=0 \end{eqnarray*}$

gegeben sei ein kreis K1: M(2/3) mit r = 5 und K2
$\begin{eqnarray*} K_1: (\vec{x} -\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix} )²=25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_2: (\vec{x} -\begin{pmatrix} 11 \\ 6\end{pmatrix} )²=4 \end{eqnarray*}$

wenn man nun in die obige formel für den NORMALENEINHEITSvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n}_0 \end{eqnarray*}$ einsetzt und ausmultipliziert, hat man

$\begin{eqnarray*} 3n_1+n_2+1=0\to n_2=-1-3n_1 \end{eqnarray*}$

einsetzen in

$\begin{eqnarray*} n²_1+n²_2=1 \end{eqnarray*}$

ergibt die beiden normaleneinheitsvektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{n}_{10} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad{ }\vec{n}_{20}= \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und mit hilfe der HNF:

$\begin{eqnarray*} y_m+c=\pm 5\to t_1: y-8=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3x_m+4y_m+c=\pm2\to t_2: -3x+4y+19=0 \end{eqnarray*}$

ohne vektorrechnung: schau dir dazu meine skizze an.
dazu und zu fragen melde ich mich dann später, nach dem feste Big Laugh

werner

31.03.2007, 19:00

outdoorboy

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RE: Kreis / Tangente
$\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ sind die Schnittpunkte der Tangenten. $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ die Mittelpunkte der Tangentenkreise. Alle liegen auf einer Geraden durch die Mittelpunkte der gegebenen Kreise.

Die Fragen wären nun wie berechnet sich die Position von $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ und deren Radius in Bezug zum Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ (also des kleineren Kreises).

Der Rest ließe sich dann mit den Strahlensätzen und Dreiecksberechnung lösen.

31.03.2007, 21:18

mYthos

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S1, S2 sind der äußere und innere Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise (S1M1 : S1M2 = r1 : r2, ....) und T1, T2 einfach die entsprechenden Halbierungspunkte.

mY+

01.04.2007, 17:00

riwe

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ganz ohne vektoren:
gerade g durch die beiden kreismittelpukte
$\begin{eqnarray*} g:x-3y+7=0 \end{eqnarray*}$

mit dem strahlensatz:
$\begin{eqnarray*} d=\overline{M_1M_2}=3\sqrt{10}\quad{ } r_3=\overline{S1M_2}=\frac{d\cdot r_2}{r_1-r_2}=2\sqrt{10} \end{eqnarray*}$

kreis $\begin{eqnarray*} K_3 \end{eqnarray*}$ mit radius $\begin{eqnarray*} r_3 \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} M_2 \end{eqnarray*}$ geschnitten mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ liefert
$\begin{eqnarray*} S_1(17/8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_1=\frac{1}{2}(M_2+S_1)\to T_1(14/7) \end{eqnarray*}$

kreis $\begin{eqnarray*} K_4 \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} r_4=\overline{T_1S_1}=\sqrt{10} \end{eqnarray*}$
geschnitten mit $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ , ergibt die 2 berührungspunkte
$\begin{eqnarray*} B_1(11/8)\quad{ }B_2(12.2/4.4) \end{eqnarray*}$
und mit der 2-punktformel die beiden äußeren tangenten.

ausnahmsweise kommt dasselbe wie oben raus unglücklich

werner

02.04.2007, 18:39

outdoorboy

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ich werde das mal studieren und sehen wie sich das in ein Programm für
eine CNC-Maschine umsetzen läßt.

Danke für deine Mühe.

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