Kern und Bild

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nathalie_85 Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild
Es sei f: gegeben durch


f: =

Bestimmen sie eine Basis vom ker(f) und eine Basis von im(f).

Ich habe keine ahnung wie ich das angehen soll. könnte einer mir vielleicht helfen.

Ich danke im voraus

gruss nathalie
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern und Bild
Bringe die Matrix auf Zeilenstufenform. Dann kannst du eine Basis des Kerns relativ leicht bestimmen.

Für Im(f) nimmst du die Bilder kanonischen Basisvektoren. Diese bilden ein Erzeugendensystem für Im(f), woraus du dann eine Basis bestimmen mußt.
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du betrachtest also "die" Abbildung zur Matrix gegeben durch .

Um eine Basis des Kerns zu bestimmen löse das lineare Gleichungssystem .

Gruß, therisen
nathalie_85 Auf diesen Beitrag antworten »







ich hab es nach Gauß gemacht, richtig so. wie weiter dann wie kann ich den kern ablesen oder was muss ich noch machen
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Mal abgesehen davon, dass deine Schritte ziemlich eigenartig sind (warum multiplizierst du die Zeilen wahllos mit einem skalaren Faktor?), musst du jetzt folgendes LGS lösen:



Insbesondere musst du eine Parametrisierung vornehmen.


Gruß, therisen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Insbesondere musst du eine Parametrisierung vornehmen.

Oder man wählt x3 beispielsweise = -3 und errechnet daraus die anderen beiden Werte und hat dann einen Basisvektor des Kerns.
nathalie_85 Auf diesen Beitrag antworten »

keine ahnung so hab ich es gelernt




Da kommt



ist es dann
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Großes Nein! Das ist nur eine mögliche Lösung, es gibt aber tatsächlich unendlich viele!

Wähle und löse die beiden Gleichungen nach auf.


Gruß, therisen
nathalie_85 Auf diesen Beitrag antworten »

keine ahnung so hab ich es gelernt







Da kommt





ich hoffe ich hab mich nicht verechnet

wie gesagt hab ich den lambde für x_3 eingesetzt dann hab ich die gleichung erst auf x_2 gelöst mit der zweiten gleichung (ii) dann x_1 mit der ersten gleichung (i)
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, das ist alles falsch. Es fängt schon damit an, dass gelten muss.
nathalie_85 Auf diesen Beitrag antworten »

ja hab ich auch shit habs hier vergessen zu schreiben







Da kommt




was dann hab jetzt x_2 geändert und was muss ich danach machen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Für deinen Kern gilt also (ich habe mit 3 durchmultipliziert, um Brüche zu vermeiden). Statt schreiben auch manche Autoren .



Gruß, therisen
nathalie_85 Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstmal therisen für di gute erklärung ich hab es sehr gut verstanden jetzt.

jetzt wollt ich wissen wie ich es mit dem Bild(f) machen soll. wie muss ich da anfangen.

grus nathalie_85
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Rangsatz folgt .

Außerdem wird das Bild deiner Abbildung aus der linearen Hülle deiner Spalten der Matrix A erzeugt, also

Du musst jetzt einen linear abhängigen Vektor aus dieser Hülle entfernen (bzw. finden), dann bist du fertig.


EDIT: Allgemein kannst du so vorgehen: Bringe auf Zeilenstufenform, transponiere diese Matrix und wähle alle von Null verschiedenen Spalten für deine Basis (des Bildraumes) aus.


Gruß, therisen
nathalie_85 Auf diesen Beitrag antworten »



Zeilenstufenform







meinst du nach dem ich den zeilenstufenform gemacht habe soll ich nochmal transormieren.

dann heißt es



stimmt das so wenn ja wie schreib ich das es auf zum schluss

gruss nathalie
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Umformungen stimmen nicht!
nathalie_85 Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommst du denn jetzt auf


und wo hab ich denn mein fehler gemacht kannst du mir das zeigen.

gruss nathalie
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nathalie_85




Du ziehst von der dritten Zeile dreimal die erste Zeile ab:



Also

nathalie_85 Auf diesen Beitrag antworten »

ok du hast recht deine rechnung ist korekkt mit der gleichung aber mein fehler ich hab die Matrix falsch abgeschrieben und auf papier bei mir hatte ich es richtig, war ein schreibfehler von mir die richtige gleichung lautet



statt ne eins am ende kommt ne drei
Zeilenstufenform







meinst du nach dem ich den zeilenstufenform gemacht habe soll ich nochmal transormieren.

dann heißt es



therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nathalie_85


Etwas mehr Konzentration bitte Augenzwinkern


Zitat:
Original von nathalie_85


meinst du nach dem ich den zeilenstufenform gemacht habe soll ich nochmal transormieren.

dann heißt es



Bis auf die Tatsache, dass du falsch transformiert hast, stimmt es Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nathalie_85
ok du hast recht deine rechnung ist korekkt mit der gleichung aber mein fehler ich hab die Matrix falsch abgeschrieben und auf papier bei mir hatte ich es richtig, war ein schreibfehler von mir die richtige gleichung lautet [...]

Schonmal was von Satzzeichen gehört? Ist ja schrecklich. Kotzen
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