Randomwalk in begrenztem Intervall

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Toxman Auf diesen Beitrag antworten »
Randomwalk in begrenztem Intervall
Hallo

In einem Forum für Delphiprogrammier ist eine Frage aufgetaucht, die man am Besten so formuliert:

Randomwalk in einem Intervall von 0 bis n (n etwa 15), Start bei 0, links und rechts sind gleich wahrscheinlich, ausser wenn man bei 0 steht, dann bleibt man mit p=0,5 einfach stehen. Wie viele Schritte werden durchschnittlich benötigt um bis n zu kommen?

Ich selbst sehe da keinen schnellen Ansatz, rein intuitiv denke ich aber, dass es ein gute Lösung geben müsste.
Kennt jemand eine analytische Lösung? Eine Simulation ist natürlich möglich, aber recht rechenintensiv.

Nikolas
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um die mittlere Anzahl der Schritte bis zum ersten Erreichen von Punkt .

Als Hilfsvariable betrachten wir dazu die mittlere Anzahl Schritte , um vom Punkt erstmalig zum Punkt zu kommen, für , gesucht ist also letztendlich .

Nun gelten, gewonnen aus entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeiten:



Dieses Gleichungssystem hat eine schöne runde Lösung ... aber die wird erst mal nicht verraten, du willst ja auch noch was zu tun haben. Augenzwinkern


P.S.: Ich wundere mich ein wenig: Seit ich diesen Beitrag verfasst habe, hast du wenigstens dreimal zu einer Antwort angesetzt - die aber bis jetzt nicht erschienen ist...
Toxman Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
P.S.: Ich wundere mich ein wenig: Seit ich diesen Beitrag verfasst habe, hast du wenigstens dreimal zu einer Antwort angesetzt - die aber bis jetzt nicht erschienen ist...


Woher weisst du das?

Naja, es ist immer der Effekt eingetreten, wegen dem ich nur grob 30% meiner Fragen, die ich hier stellen will, auch wirklich stelle: Wenn ich genau aufschreibe, was ich fragen will, sehe ich die Antwort auch so.

Erst bin ich nicht ganz mit der Rekusrion zurecht gekommen, habe dann aber gesehen, dass sie schon sinnvoll ist.

Dann habe ich versucht, m_{n-1} unter der Vorraussetzung 'n recht groß' zu nähern und bin auf etwa 1,1 gekommen, habe dann m_{n-2} ausgerechnet (=0,2) habe mich gewundert und beschlossen, bei dem Ergebniss doch erst noch mal zu überlegen, weil es doch recht falsch aussieht.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Toxman
Woher weisst du das?

http://www.matheboard.de/wiw.php

Zitat:
Original von Toxman
Dann habe ich versucht, m_{n-1} unter der Vorraussetzung 'n recht groß' zu nähern und bin auf etwa 1,1 gekommen

Oh, das ist aber schwer daneben: Bereits für ist , und der Wert wächst dann monoton in , das geht schon qualitativ aus dem inhaltlichen Zusammenhang hervor.
Toxman Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das Gleichungssystem mal als Matrix geschrieben, was dann so aussieht: (siehe Anhang) (n=15(!))
Die obere Matrix stellt das System dar (statt 0.5 habe ich aus Darstellungsgründen eine 3 geschrieben, die untere dann das Ergebniss nach Gauß.
Wenn ich drei benachbarte Einträge aus dem Ergebniss nehme, ist die Rekursionsvorschrift erfüllt, nur sieht das m_(n-1)=30=2*n etwas komisch aus, da es eigentlich keinen großen Unterschied machen sollte, ob ich von 499 auf 500 oder von 999 auf 1000 hoch will.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So merkwürdig es auch aussehen mag: Das Ergebnis ist korrekt!

Allgemein: ,

also z.B. und

Das mutet auf den ersten Blick vielleicht merkwürdig an, bedeutet es doch z.B.

,

was bedeutet, das ohne Reflexion die mittlere Zeit bis zum Erreichen der nächsten Stufe unendlich ist!!! Ist aber so, trotz der Tatsache, dass diese nächste Stufe mit Wahrscheinlichkeit 1 in endlicher Zeit erreicht wird...

Das sind so die Paradoxien, die man als unerfahrener Stochastiker kaum glauben mag. Aber du kannst dich gern durch Simulation überzeugen, dass es so ist. smile
 
 
Toxman Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das klingt wirklich etwas komisch.

Danke (mal wieder) für deine Hilfe Wink
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