x > ln(x) Aufgabe überprüfen pls

31.03.2007, 16:17

SilverBullet

x > ln(x) Aufgabe überprüfen pls

Habe hier eine Aufgabe und würde gerne wissen ob ich das so richtig gemacht habe.

Aufgabe : Zeigen sie : Für alle x > 1 ist x > ln(x)

Nun gut sei f(x) = x - ln(x)

dann ist $\begin{eqnarray*} f'(x) =1 - \frac 1 x \end{eqnarray*}$

da x > 1 vorrausgesetzt ist, ist f'(x) > 0 für alle x und damit ist die Funktion f(x) streng monoton steigend und daraus folgt auch das x > ln(x) da f(x) > 0 für alle x q.e.d.

Kann ich das so machen ?

Gruß
Marc

31.03.2007, 17:02

pseudo-nym

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RE: x > ln(x) Aufgabe überprüfen pls
damit eine Funktion größer ist als die andere muss ihre Differenzfunktion lediglich größer null sein.

31.03.2007, 17:07

Lazarus

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Wenn du über die Monotonie argumentieren willst, musst du zeigen dass es irgendein x gibt für dass f(x)>0 gilt.

31.03.2007, 17:07

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Zitat:

Original von SilverBullet
Kann ich das so machen ?

Ja, allerdings sollte man die simple Erwähnung von $\begin{eqnarray*} f(1)=1>0 \end{eqnarray*}$ als "Start" nicht vergessen.

Wäre nämlich $\begin{eqnarray*} f(1)<0 \end{eqnarray*}$ , dann nützt das ganze $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ nichts. Das wäre in etwa so, als wenn der Induktionsschluss klappt, aber der Induktionsanfang falsch ist... smile

EDIT: Ähm, ja, da hatten wohl zwei zur selben Zeit den gleichen Hinweis parat. Augenzwinkern

31.03.2007, 17:54

SilverBullet

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alles klaro hab es oben editiert danke Augenzwinkern

03.04.2007, 11:52

SilverBullet

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Noch ne dumme Frage dazu :

Eigentlich hieß die Aufgabe man sollte die Behauptung mit dem Mittelwertsatz beweisen.
Wie bekomm ich das denn bei der Aufgabe hin ?

03.04.2007, 12:07

therisen

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Sei $\begin{eqnarray*} b>1 \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest. Anwendung des Mittelwertsatzes auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [1,b] \end{eqnarray*}$ und die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) := x-\ln x \end{eqnarray*}$ liefert unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b-1>0 \end{eqnarray*}$ die für den natürlichen Logarithmus charakteristische Ungleichung $\begin{eqnarray*} b-1>\ln b \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

03.04.2007, 19:34

SilverBullet

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Verstehe ich irgendwie nicht. Die Aussagen ansich sind mir klar jedoch bekomm ich es irgendwie nicht in Zusammenhang zum MWS.

Also meine Funktion, definiert auf (1,b) mit b > 1 ist ja:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x - ln(x) \end{eqnarray*}$

Nach MWS gilt :

$\begin{eqnarray*} \frac {b - ln(b) -1}{b-1} = 1 - \frac {ln(b)}{b-1} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$

Hmm und wie zeigt mir das nun das x > ln(x) ?

Klar kann ich auch die erste Ableitung bilden aber dann hab ich es ja wieder wie oben und die Sache mit dem MWS wäre dann wieder überflüssig unglücklich

03.04.2007, 19:50

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Na die rechte Seite ist positiv, da das für die gesamte Ableitung f'(x) gilt, zumindest im Bereich $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ !!! Und

$\begin{eqnarray*} \frac {b - ln(b) -1}{b-1}>0 \end{eqnarray*}$

mit b-1>0 multipliziert ergibt nun mal $\begin{eqnarray*} b>\ln(b)+1 \end{eqnarray*}$ , also sogar etwas mehr als die Behauptung.

03.04.2007, 19:58

SilverBullet

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Ahhh jetzt ja smile

Da mein b beliebig gewählt wurde habe ich mit b > ln(b)+1 ja direkt x > ln(x) + 1 bewiesen.

Herrje da hab ich aber in eine ganz andere Richtung gedacht Augenzwinkern

Vielen dank smile

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