Ableitung+Vollständige Induktion

31.03.2007, 19:40

Rabia

Ableitung+Vollständige Induktion

Hallo!

ich brauch mal ein Denkstoß von eurer Seite, und zwar komm ich bei der folgenden Funktion und deren Ableitung net weiter. (Sie stammt aus einer Vollständigen Induktionsaufgabe!)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)^{k+1}} \end{eqnarray*}$

meine zweite Frage:
was bedeutet den eigentlich n! ?? warum verschwindet es, wenn man ableitet?

31.03.2007, 19:43

sqrt4

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n!=Fakultät

das ableiten sollte doch mit der Quotientenregel funktionieren... (sofern die Funktion von x abhängt)

31.03.2007, 19:47

Rabia

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ok die Quotientenregel is ja klar isA
aber in der Lösung steht was anderes als ich gedacht habe verwirrt

bei dene fällt das x ganz raus , aber wie soll ´das gehn? ich sitzt wirklich voll auf dem schlauch.

kann mna mir das bitte schritt für schritt erklären? pls...

31.03.2007, 19:50

sqrt4

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kannst du die ganze Aufgabe mal reinstellen?

31.03.2007, 19:59

Rabia

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Geg ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1} , x \neq 1 \end{eqnarray*}$

Zeige, dass für die n-te Ableitung gilt f(n)(x)=

31.03.2007, 20:05

sqrt4

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so etwas ?

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n\cdot n!}{(x-1)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Also mal los.

Induktionsanfang: Für n=0 bzw. n=1 stimmt die Formel offensichtlich.

Moment: wo genau hängst du jetzt eigentlich?

Edit: Was kommt denn aufm Blatt raus?

31.03.2007, 23:46

Rabia

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also den Teil mit vollständiger Induktion hab ich ja verstanden isA
bitte lass mich jetzt nicht die ganze zeit den formeleditor nutzen, da muss man sich erst mal dran gewöhnen.....

bei der vollständigen Induktion muss man ja $\begin{eqnarray*} f^{k+1} = [f^{k}]' \end{eqnarray*}$ rechnen, jetzt weiß ich nicht, warum in der Klammer, das heißt bei dem folgenden Term, das x rausfällt:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$

Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} (k+1) \end{eqnarray*}$ wenn man die quotientenregel für die erste Funktion anwendet, kommt halt noch ein Minuszeichen davor...

ich würde das anders ableiten:

$\begin{eqnarray*} (k+1)*(x-1)^{k} \end{eqnarray*}$

01.04.2007, 00:45

tigerbine

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Rabia, Du solltest Dich einfach an den Formeleditor gewöhnen. Auch wäre es hilfreich gewesen, wenn Du auf die Fragen von sqrt(4) eingegangen wärst.

Außerdem scheint mir die Aufgabe nicht sauber formuliert. Fehlt da nicht die Funktion vor dem Bruch?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x-1} \qquad x \neq 1 \end{eqnarray*}$

Bestimmt man ein paar Ableitungen, so erhält man:

$\begin{eqnarray*} f^{(1)}(x) = (-1)\cdot \frac{1}{(x-1)^2}\cdot 1 = - \frac{1}{(x-1)^2}~( *) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(2)}(x) = -(-2)\cdot \frac{1}{(x-1)^3} \cdot 1= \frac{2}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(x) = (-3)\cdot \frac{2}{(x-1)^4} \cdot 1= -\frac{6}{(x-1)^4} \end{eqnarray*}$

Daher vermutet man:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n\cdot n!}{(x-1)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Dies soll nun mit Vollständiger Induktion bewiesen werden.

Induktionsanfang:

Sei n=1, dann erkennt man mit (*), dass ise Behauptung erfüllt ist.

Induktionsannahme:

Sei die Behauptung richtig für n=k. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^k\cdot k!}{(x-1)^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

Mit der Induktionsannahme muss nun gezeigt werden, dass für n=k+1 gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x)=\frac{(-1)^{k+1}\cdot (k+1)!}{(x-1)^{k+2}} \end{eqnarray*}$

Was ist also zu tun? Bilde die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f^{(k)} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x)=\Bigl( f^{(k)}(x) \Bigr)' = ... \end{eqnarray*}$

01.04.2007, 10:39

Rabia

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Ich glaube ich kann mich hier nicht gut genug ausdrücken....
Aber trotzdem vielen Dank für die vollständige Induktionserklärung!! smile

Wiederholen tut ja immer gut.

Also nochmal mein problem: Die Ableitung, die hier für die VI benötigt wird.

Den Zähler kann man stehen lassen oder ausklammern, da es hier um einen konstanten Faktor handelt, des halb muss man nur die folgende Funtkion ableiten

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Ich würd das mit Quotientenrgel ableiten und die klammerregel (Hochzahl nach vorn innere Ableitung nach vorn mal die klammer und oben eins weg)

so erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} -\frac{(x-1)^{k}*(k+1)}{((x-1)^{k+1})²} \end{eqnarray*}$

01.04.2007, 12:06

tigerbine

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Und schon wieder muss ich meckern. Schreib Funktionen als Funktionen. Und die Ableitung sollte doch kein Problem sein, mit oder ohne Faktor. Ist die doch im Grunde vom Typ: $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x)=\Bigl( f^{(k)}(x) \Bigr)' =\Bigl( \frac{(-1)^k\cdot k!}{(x-1)^{k+1}} \Bigr)' = (-1)^k\cdot k! \cdot (-1)\cdot(k+1) \cdot \frac{1}{(x-1)^{k+2}}\cdot 1 \end{eqnarray*}$

Wenn du es unbedingt mit Quotientenregel machen willst:

$\begin{eqnarray*} \Bigl( \frac{(-1)^k\cdot k!}{(x-1)^{k+1}} \Bigr)' = (-1)^k\cdot k! \cdot \frac{-(k+1)\cdot (x-1)^k}{(x-1)^{2(k+1)}} \end{eqnarray*}$

Beide male kommt das Gesuchte raus.

01.04.2007, 21:35

Rabia

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sorry ich seh aber nicht die äquivalenz!

wie soll dass was du da geschrieben hast, das gesuchte sein?
wie formt man dass den um?

01.04.2007, 21:46

tigerbine

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Wo soll da das Geheimnis sein verwirrt

Variante 1:

$\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x)&&=\Bigl( f^{(k)}(x) \Bigr)' =\Bigl( \frac{(-1)^k\cdot k!}{(x-1)^{k+1}} \Bigr)' = (-1)^k\cdot k! \cdot (-1)\cdot(k+1) \cdot \frac{1}{(x-1)^{k+2}}\cdot 1 = \\&&=(-1)^k\cdot (-1)\cdot k! \cdot (k+1) \cdot \frac{1}{(x-1)^{k+2}} \end{eqnarray*}$

Und damit steht es doch schon da...

01.04.2007, 21:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von Rabia
sorry ich seh aber nicht die äquivalenz!

Äh, von was für einer Äquivalenz redest du? Oder meinst du Gleichheit? Das ist nämlich was ganz anderes!

03.04.2007, 20:33

Rabia

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Hallo?! Ihr müsst mich doch nicht gleich zur Schnecke machen, wenn ich mal eine Umformung nicht auf dem ersten Blick erkenne!!

Wenn ihr nicht antworten wollt, tut's nicht, wenn ihr aber antwortet, dann darf ich ja wohl noch um mehr Verständnis und Respekt bitten...euer verhalten demotiviert mich ja wirklich obwohl ich Mathe sehr gerne hab'... Also bitte geschockt

03.04.2007, 22:45

tigerbine

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Hier hat dich keiner zur Schnecke gemacht unglücklich

Dennoch war es mir unklar, wie man mit dieser linken Seite, die rechte Seite nicht "erkennen" kann.

$\begin{eqnarray*} (-1)^k\cdot k! \cdot (-1)\cdot(k+1) \cdot \frac{1}{(x-1)^{k+2}}\cdot 1 = (-1)^{k+1}\cdot (k+1)! \cdot \frac{1}{(x-1)^{k+2}} \end{eqnarray*}$

Und mir kam es dann eher so vor, als sollte ich auch noch den Rest der Aufgabe für Dich aufschreiben unglücklich

Und WebFritzi hat nur in seiner bekannt "charmanten" Art darauf aufmerksam gemacht, dass Gleichheit und Äquivalenz zwei paar Schuhe sind. Sei doch lieber froh, dass hier Leute gründlich lesen Augenzwinkern

04.04.2007, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rabia
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Ich würd das mit Quotientenrgel ableiten und die klammerregel (Hochzahl nach vorn innere Ableitung nach vorn mal die klammer und oben eins weg)

Ein Tipp von tigerbine ist etwas untergegangen. Schreibe
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)^{k+1}} = (x-1)^{-k-1} \end{eqnarray*}$
und du kannst einfach die Potenzregel verwenden. Augenzwinkern

Und bitte nicht über Hinweise zu falscher Ausdrucksweise ärgern. Viele Fehler beruhen auf Halbwissen oder unsauberen mathematischen Formulierungen. So ist gerade bei der vollständigen Induktion immer wieder unklar, was in welchem Schritt Voraussetzung und was zu zeigen ist.

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