Wegzusammenhängend

31.03.2007, 19:47

Parabelflug

Wegzusammenhängend

Hi, man soll zeigen daß folgende menge nicht wegzusammenhängend ist:

$\begin{eqnarray*} X : = \{ (x, \sin{( ln(x) )} \in \mathbb{R}^2 \vert x > 0 \} \cup \left( 0 \times [ -1 , 1 ] \right) \end{eqnarray*}$

Ich hab mir mal überlegt zu zeigen, dass es keinen Weg gibt der die Punkte x:=(0,0) und y:=(1,0) verbindet. ich nehme an daß ein stetiger Weg $\begin{eqnarray*} \gamma: [0,1] \to X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma(0) = (0,0) \text{und} \gamma(1) = (1,0) \end{eqnarray*}$ exisitiert und versuche dies zum widerspruch zu führen; allerdings liegt genau hier das problem, wie stellt man dies an verwirrt

?

für unterstützung wäre ich wirklich dankbar

01.04.2007, 00:38

zu müde

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Ich hätte folgende Idee versucht auszuvermulieren:
Betrachte den Grenzübergang
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \sin(\ln x) \end{eqnarray*}$
Wenn es wegzüsammenhängend wäre, müsste der GW existieren, was er aber nicht tut. Das zubeweisen sollte auch nicht weiter schwer sein.
Demnach sind alle Werte zwischen -1 und 1 Häufungswerte, jedoch wird keiner Angenommen -> Also nicht wegzusammenhängend

01.04.2007, 13:36

Abakus

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@ zu müde: Was der Limes mit dem Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ zu tun hat, müßtest du noch ins Spiel bringen (ad hoc sehe ich da keinen Zusammenhang).

@ Parabelflug: Du kannst dir zunächst überlegen, dass folgendes Supremum existiert:

$\begin{eqnarray*} u := sup\{t \in [0, 1] : \gamma(t) \in (0 \times [-1, 1])\} \end{eqnarray*}$

Es ist sicher $\begin{eqnarray*} 0 \leq u < 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du überlegen, was aufgrund der Stetigkeit für $\begin{eqnarray*} \gamma(u) \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Dann betrachte die Verhältnisse bei $\begin{eqnarray*} \gamma(u) \end{eqnarray*}$ . Wähle ein geeignetes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und überlege dir, ob die Stetigkeitsbedingung nun erfüllt sein kann.

Grüße Abakus smile

EDIT: Latex

01.04.2007, 15:39

Parabelflug

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aufgrund der Stetigkeit, müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to u} \gamma(t) = \lim_{t \to u, t > u} \gamma(t) = \lim_{t \to u, t < u} \gamma(t) = \gamma(u) \end{eqnarray*}$

Leider komm schon nicht mehr weiter, eine Idee wäre vielleicht den Weg in zwei stetige Komponenten aufzuteilen: $\begin{eqnarray*} \gamma(t) = ( \gamma_{1} (t), \gamma_{2}(t)) \end{eqnarray*}$ .

Nun führt man ein $\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon < 1 \end{eqnarray*}$ ein (da $\begin{eqnarray*} 0 \leq u < 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_{1} (1) = 1 \end{eqnarray*}$ ) und betrachet:

$\begin{eqnarray*} \gamma : [\epsilon, 1] \to X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma_{1} (t) > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t > \epsilon \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \gamma_{1} (t) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t = \epsilon, \gamma_{1} = 1 \end{eqnarray*}$ für t = 1

Jetzt müsste ich irgendwie $\begin{eqnarray*} sin( ln(x)) \end{eqnarray*}$ ins Spiel bringen, aber wo und wie?

01.04.2007, 19:52

Abakus

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Zitat:

Original von Parabelflug
aufgrund der Stetigkeit, müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to u} \gamma(t) = \lim_{t \to u, t > u} \gamma(t) = \lim_{t \to u, t < u} \gamma(t) = \gamma(u) \end{eqnarray*}$

Mir schwebt hier vor zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \gamma(u) \in (0 \times [-1, 1]) \end{eqnarray*}$ . Letzteres ist ja eine abgeschlossene Menge.

Zitat:

Leider komm schon nicht mehr weiter, eine Idee wäre vielleicht den Weg in zwei stetige Komponenten aufzuteilen: $\begin{eqnarray*} \gamma(t) = ( \gamma_{1} (t), \gamma_{2}(t)) \end{eqnarray*}$ .

Nun führt man ein $\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon < 1 \end{eqnarray*}$ ein (da $\begin{eqnarray*} 0 \leq u < 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_{1} (1) = 1 \end{eqnarray*}$ ) und betrachet:

$\begin{eqnarray*} \gamma : [\epsilon, 1] \to X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma_{1} (t) > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t > \epsilon \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \gamma_{1} (t) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t = \epsilon, \gamma_{1} = 1 \end{eqnarray*}$ für t = 1

Jetzt müsste ich irgendwie $\begin{eqnarray*} sin( ln(x)) \end{eqnarray*}$ ins Spiel bringen, aber wo und wie?

Da sehe ich die Idee noch nicht. Meine Idee wäre:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon := \frac 1 {10000} \end{eqnarray*}$ . Dann existiert wegen der Stetigkeit sicher ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ , so dass gilt:

für alle t mit $\begin{eqnarray*} |t - u| < \delta \text{ folgt } \gamma(t) \in U_{\epsilon}(u) \end{eqnarray*}$

Speziell gilt nach Konstruktion zudem für alle $\begin{eqnarray*} t > u \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \gamma(t) \in \{(x, \sin(\ln x)) : x \in \mathbb R^+\} \end{eqnarray*}$

Ich wähle einmal ein spezielles $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ mit obigen Eigenschaften:

es gelte also $\begin{eqnarray*} 0 < t_0 - u < \delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma(t_0) = (t_0, \sin(\ln t_0)) \in U_{\epsilon}(u) \end{eqnarray*}$

Zu $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 := \frac{||\gamma(t_0) - \gamma(u)||}{10000} \end{eqnarray*}$ findet sich nun analog ein $\begin{eqnarray*} \delta_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < t_1 - u < \delta_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma(t_1) = (t_1, \sin(\ln t_1)) \in U_{\epsilon_1}(u) \end{eqnarray*}$ .

Die Wegstrecke zwischen $\begin{eqnarray*} \gamma(t_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma(t_1) \end{eqnarray*}$ muss nach Konstruktion ganz in $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon}(u) \end{eqnarray*}$ verlaufen. Beide Punkte sollten jedoch auf verschiedenen "Perioden des Sinus" liegen, so dass dies letztendlich nicht geht. Da wäre der Widerspruch.

Letzteres musst du natürlich noch viel genauer ausarbeiten (ggf. bessere Umgebungen wählen als hier usw.), aber es zeigt die Beweisidee erstmal.

Grüße Abakus smile

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