konvergenz mit wurzeln

01.04.2007, 15:26	elevar	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergenz mit wurzeln hallo. hab gerad ein brett vorm kopf... zu zeigen ist, ob und wenn wogegen $\begin{eqnarray} x_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \end{eqnarray}$ konvergiert. meine idee wäre, anhand von $\begin{eqnarray} 0 \le x_n \le y_n \end{eqnarray}$ zu argumentieren, dann brauch ich halt nur noch ein $\begin{eqnarray} y_n \end{eqnarray}$ mit gw 0 bitte um eure hilfe elevar
01.04.2007, 15:29	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde x_n so erweitern das du die 3. binomische Formel anwenden kannst.
01.04.2007, 15:31	Schmonk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Du bist zum Einen in der falschen Unterabteilung, das ist doch Analysis. Zum Anderen solltest du doch bitte mal die Boardsuche nutzen, ich bin mir sicher, genau das oder etwas sehr ähnliches hier kürzlich schon gelesen zu haben. Gruß! Edit: nach geschätzer 1-minütiger suche: Zeige Folge konvergiert und Grenzwert
01.04.2007, 15:37	elevar	Auf diesen Beitrag antworten »
danke
01.04.2007, 16:30	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
01.04.2007, 22:15	Justaf	Auf diesen Beitrag antworten »
Anderer Ansatz (als im obigen Link)... Die Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_n := \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} > 0 \end{eqnarray}$ ist str.mon.fallend, ergo konvergent gegen $\begin{eqnarray} g := \inf(x_n) \geq 0 \end{eqnarray}$ Nehme an: $\begin{eqnarray} g > 0 \end{eqnarray}$ - Dann wäre $\begin{eqnarray} \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \geq g \quad \forall n \end{eqnarray}$ . Summiere dies n-Mal auf, ergibt: $\begin{eqnarray} \sqrt{n + 1} - 1 \geq n \cdot g \Leftrightarrow 1 - 2 g \geq n \cdot g^2 \end{eqnarray}$ ... mit Widerspruch, da die rechte Seite beschränkt wäre. (nachverschieben ??!)
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