e-Fkt und sinusfkt

01.04.2007, 19:15

Monika

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e-Fkt und sinusfkt

Hallo zusammen,

ich schreibe morgen eine Arbeit und bereite mich vor indem ich einige Aufgaben rechne...ich würde es sehr nett von euch finden,wenn ihr mir sagen könntet ,ob das Ergebnis richtig ist.

Also in der 1.Aufgabe muss ich die Nullstellen der Fkt f(x)=e^-2x -0,5 ausrechnen. In dieser Aufgabe habe ich am Ende stehen x= ln 0.5 / -2.
Also ist die Nullstelle 0,35 ???

Als 2. muss ich dann die Größe der Fläche berechnen ,die von dem Graphen und den Koordinatenachsen eingeschlossen ist.Als Ergebnis habe ich dort 0,93 ist es richtig?

01.04.2007, 19:29

vektorraum

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RE: e-Fkt und sinusfkt
Hi!

Wieso ist im Thread irgendwas mit Sinusfunktion die Rede???
Ist die Funktion die folgende:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-2x}-0,5 \end{eqnarray*}$

Ist nämlich nicht so ganz klar, da du keine Klammern gesetzt hast.
Was heißt dann der Wert für die Nullstelle? der Logarithmus kann doch nicht negativ sein, wenn du meinst

$\begin{eqnarray*} x=\cfrac{\ln 0,5}{-2}. \end{eqnarray*}$

Bitte aufklären!
Prinzipiell habe ich aber die gleiche NST.
Beim Flächeninhalt habe ich einen anderen Wert.

01.04.2007, 19:33

Monika

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Ja genau das ist die Funktion...

Und die Nullstelle lautet ja 0,35 da x= (ln0,5) / (-2) so wie du es dort auch stehen hast..

Ich hab den Flächeninhalt nochmal nachgerechnet und hab dort 0,075 ist es richtig... und die Sinusaufgaben kommen gleich noch smile

smile

01.04.2007, 19:36

vektorraum

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Yepp, hab mich vertan. Ist alles jetzt richtig!
Aber benutze nächste Mal den Formeleditor, dann kann man das besser lesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.04.2007, 19:46

Monika

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Bei der nächsten Aufgabe soll ich anhand der Fkt
f(x)= (-2e^ -2x) + (2e^-0,2x)+2 die Bevölkerungszahl nach 20 Jahren berechnen. (einheit auf der x-achse :jahre und einheit auf der y-achse :1000 einwohner)

Als ergebnis habe ich dort 2.03???

Danach soll ich die Fkt anhand der Funktionsgleichung auf Extremund Wendestellen berechnen...wie muss ich dort anfangen? smile

smile

01.04.2007, 19:57

vektorraum

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Wenn du das Ergebnis aus der ersten Teilaufgabe noch richtig interpretierst, dann ist die Lösung richtig. Soll heißen 1 Einheit = 1000 Einwohner.

Für Extrempunkte ist die Bedingung

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

und für Wendepunkte

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$

Also mal ableiten und Null setzen!

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01.04.2007, 19:57

Monika

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Ich habe nun die 1.Ableitung von der oben genannten fkt gebildet und hab dort die x=0.71 aber ich weiß nicht was ich damit anfangen soll um die Extremstellen und Wendestellen auszurechnen

01.04.2007, 20:06

Monika

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Für f''(x) kriege ich keinen wert heraus ,weil ich am ende (ln-7,92) / (1,8)=x
habe...

01.04.2007, 20:08

vektorraum

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Meinst du wirklich diese Funktion (bitte benutze den Formeleditor):

$\begin{eqnarray*} f(x)=-2e^{-2x}+2e^{-0,2x}+2 \end{eqnarray*}$

Dann hab ich nämlich was anderes raus. Kennst du nicht den Zusammenhang von erster Ableitung und Extrempunkten? Die Nullstellen der ersten Ableitung einer Funktion sind die Extremstellen der ursprünglichen Funktion!

01.04.2007, 20:21

Monika

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tut mir Leid,aber ich weiß nicht wie ich den Formeleditor benutzen soll. Ja genau diese Gleichung meine ich.

Ich hab das jetzt nochmal nachgerechnet und hab heraus f'(x)= -1,27??

und f''(x)=-0,46???

01.04.2007, 20:46

WebFritzi

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Das ist doch Schulmathematik.

01.04.2007, 20:48

vektorraum

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Hi!

Was meinst du denn mit diesen Ausdrücken??? Das ist fachlich falsch!
Die erste Ableitung ist doch

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4e^{-2x}-0,4e^{-0,2x} \end{eqnarray*}$

Setze dann

$\begin{eqnarray*} 0=4e^{-2x}-0,4e^{-0,2x} \end{eqnarray*}$

Auflösen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 4e^{-2x}=0,4e^{-0,2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow~e^{-2x}=0,1e^{-0,2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow~-2x=\ln(0,1\cdot e^{-0,2x}) \end{eqnarray*}$

Beachte: $\begin{eqnarray*} \ln(a\cdot b)=\ln a+\ln b \end{eqnarray*}$

Weiterrechnen!

@Webfritzi: Was für ein fachlich wichtiger Kommentar!

01.04.2007, 21:05

WebFoxxi

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Ot
@Ring-ohne-Eins
´fachlich´ nicht, aber forenorganisatorisch schon...

01.04.2007, 21:09

Monika

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Nun habe ich dort x=1,04.Aber in der Schule haben wir das anders gemacht...

Wir hatten die Funktion f'(x)=0= (13e^ -13x)=(20e^-10x)

und am ende hatten wir dann für x=(ln 13-ln20) : 3

und so wie du es gemacht hast,ist es ja ganz anders unglücklich

unglücklich

ich bin total verwirrt

01.04.2007, 21:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von vektorraum
@Webfritzi: Was für ein fachlich wichtiger Kommentar!

Ach, das Fachliche. Entschuldige...

Zitat:

Original von Monika
Wir hatten die Funktion f'(x)=0= (13e^ -13x)=(20e^-10x)

Was du da schreibst ist falsch. Mach doch erstmal das, wozu vektorraum dich aufgefordert hat...

01.04.2007, 21:35

vektorraum

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Zitat:

Original von Monika
Nun habe ich dort x=1,04.Aber in der Schule haben wir das anders gemacht...

Wir hatten die Funktion f'(x)=0= (13e^ -13x)=(20e^-10x)

und am ende hatten wir dann für x=(ln 13-ln20) : 3

und so wie du es gemacht hast,ist es ja ganz anders unglücklich

unglücklich

ich bin total verwirrt

Was ist denn jetzt das Problem? Man kann ja nicht bei allen möglichen Aufgaben ein Rezept angeben, wie man es zu lösen hat, sondern muss auch mal andere Wege einschlagen. Wo ist das konkrete Problem - dein angegebener Wert ist falsch!
Was habe ich da schlimmes gemacht.
Erste Ableitung bilden sollte klar sein, dann Null setzen und ein wenig umformen.
Dabei habe ich zur zweiten Zeile einfach nur durch 4 dividiert und dann logarithmiert, um den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ wegzubekommen. Jetzt wäre noch folgendes zu tun:

$\begin{eqnarray*} -2x=\ln 0,1-0,2x \end{eqnarray*}$

Warum? Weil $\begin{eqnarray*} e^{\ln -0,2x}=-0,2x \end{eqnarray*}$ .
Dann ist weiter

$\begin{eqnarray*} -1,8x=\ln 0,1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\cfrac{\ln 0,1}{-1,8} \end{eqnarray*}$

Fertig. Und da kommt nährungsweise raus $\begin{eqnarray*} x=1,28 \end{eqnarray*}$

Wo steckt dein Verständnisproblem?

01.04.2007, 22:32

Monika

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f'(x)=1,27

das in die f''(x) eingesetzt bekomme ich -0.557 raus und es ist eine maximalstelle,weil die kleiner als eins ist ist es richtig?

01.04.2007, 22:39

vektorraum

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Bitte schreibe das nicht so auf! Das ist totaler Unsinn. Es muss ungefähr so heißen:

$\begin{eqnarray*} x_0=\cfrac{\ln 0,1}{-1,8}\approx 1,28 \end{eqnarray*}$

Was du da immer schreibst ist eine Funktion in der Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Aber das meinst du ja nicht. Also bitte dran denken!

Die Begründung ist auch falsch! Es ist richtig, dass du die Lösung in die zweite Ableitung einsetzen musst. Aber dann kommt es auf folgendes an:

$\begin{eqnarray*} f''(x_0)>0~\Rightarrow~\textrm{Lokales Minimum} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_0)<0~\Rightarrow~\textrm{Lokales Maximum} \end{eqnarray*}$

01.04.2007, 22:48

Monika

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so nun kommen wir zu der sinusfkt...

f(x)=2sin(0,5*pi*x) im intervall [-2;2]

Die erste ausgerechnete Nullstelle lautet x=0,333333
und wie lautet dann die andere nullstelle?? x=-1,7??

Bei der 1.Ableitung habe ich raus f'(0)=1 muss ich die 1 in die 2.Ableitung einsetzen und herausstellen zu können ,ob es ein Maximum oder ein Minimum ist??

Die Nullstellen der 2.Ableitung in die 3.Ableitung einsetzen ....und woher weiß ich dann ob es eine Wendestelle gibt oder nicht?

01.04.2007, 23:18

vektorraum

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Bemühe dich bitte mal mit dem Formeleditor:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2\sin(0,5\pi x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} I:=[-2,2] \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du denn auf diese Nullstellen??? Du hast auch eine weitere wichtige Nulstelle vergessen - zumal die anderen auch noch falsch sind.
Mein Tipp wäre mal ganz anders da ran zu gehen. Du machst doch den Ansatz

$\begin{eqnarray*} 0=2\cdot \sin(0,5\pi x) \end{eqnarray*}$

was einfacher ist in der Form: $\begin{eqnarray*} 0=\sin(0,5\pi x) \end{eqnarray*}$

Setze dann $\begin{eqnarray*} t=0,5\pi x \end{eqnarray*}$ und erhalte

$\begin{eqnarray*} 0=\sin t \end{eqnarray*}$ . Hier kennst du ja alle Nullstellen, nämlich $\begin{eqnarray*} x_0=k\cdot \pi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Dann setze wieder $\begin{eqnarray*} k\cdot \pi=0,5\pi x_0 \end{eqnarray*}$
und berechne $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Dann müsstest du auf $\begin{eqnarray*} x_0=2k,~k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ kommen. Setze nun einige Werte für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ein, die vermutlich im angegebenen Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ liegen müssten. Damit hast du auch wirklich alle Nullstellen erfasst. Vergiss bitte auch $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ nicht.

Was hast du bei der ersten Ableitung raus? Das stimmt so wieder nicht, wie es da steht. Was hast du denn gerechnet???

Edit: Oh je, so viele Fehler, dass ich wieder ganz oft editieren musste Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.04.2007, 23:28

Monika

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also meine 1.Ableitung lautet f'(x)=pi * cos (0,5pi* x)

für mich ist es auch mühsam das alles aufzuschreiben...nur ich weiß nicht wie ich mit dem formeleditor umgehen soll

02.04.2007, 14:07

vektorraum

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Zitat:

Original von Monika
also meine 1.Ableitung lautet f'(x)=pi * cos (0,5pi* x)

für mich ist es auch mühsam das alles aufzuschreiben...nur ich weiß nicht wie ich mit dem formeleditor umgehen soll

Ja, aber dann musst du es lernen. Aber wie die Ausdrücke ganz am Anfang ist es halt nicht ganz einfach das ganze zu entziffern. Also setze lieber genügend Klammern und dann dürfte das auch kein Problem sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine erste Ableitung ist richtig. Wie willst du nun weiter machen??? Hast du das mit der Nullstelle verstanden???

03.04.2007, 11:34

sweety

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Zitat:

Original von Monika

für mich ist es auch mühsam das alles aufzuschreiben...nur ich weiß nicht wie ich mit dem formeleditor umgehen soll

für vektorraum ist das alles keine arbeit (<-ironie)...er muss genauso alles eingeben wie du das auch tun musst.
und was ist daran schwer den formeleditor zu benutzen?
->draufklicken, dann öffnet sich das fenster
und dann hast du alles was du brauchst

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