integral mit wurzel im nenner

01.04.2007, 22:10

zitroneneis

integral mit wurzel im nenner

hallo!

ich habe anlaufschwierigkeiten bei der integration folgender funktion:

f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2x + 1} - 3} \end{eqnarray*}$ .

kann mir jemand beim ansatz helfen?

01.04.2007, 22:19

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Die naheliegende Substitution $\begin{eqnarray*} t = \sqrt{2x + 1} \end{eqnarray*}$ führt zum Erfolg.

01.04.2007, 22:25

zitroneneis

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hmm, das hab ich bereits versucht.

wenn $\begin{eqnarray*} t = \sqrt{2x + 1} \end{eqnarray*}$ , dann ergibt sich $\begin{eqnarray*} dt = \frac{dx}{\sqrt{2x + 1} } \end{eqnarray*}$ . und da komm ich dann nicht weiter.

01.04.2007, 22:31

WebFritzi

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Ja, und jetzt ersetze die Wurzel noch durch t.

01.04.2007, 22:53

zitroneneis

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dann muss ich das integral von $\begin{eqnarray*} \frac{t}{t-3} \end{eqnarray*}$ bilden.

und wie mache ich das?

01.04.2007, 23:09

vektorraum

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Kannst du das mal vernünfitg aufschreiben mit Integrationsvariable und so weiter:

$\begin{eqnarray*} \int~\cfrac{t}{t-3}~\dd t \end{eqnarray*}$

Meine Idee wäre nochmalige Substitution mit $\begin{eqnarray*} u=t-3 \end{eqnarray*}$ . Dann wird das Integral wirklich sehr einfach.

01.04.2007, 23:20

riwe

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Zitat:

Original von vektorraum
Kannst du das mal vernünfitg aufschreiben mit Integrationsvariable und so weiter:

$\begin{eqnarray*} \int~\cfrac{t}{t-3}~\dd t \end{eqnarray*}$

Meine Idee wäre nochmalige Substitution mit $\begin{eqnarray*} u=t-3 \end{eqnarray*}$ . Dann wird das Integral wirklich sehr einfach.

$\begin{eqnarray*} \int~\cfrac{t}{t-3}~\dd t=\int~(1+\cfrac{3}{t-3})~\dd t \end{eqnarray*}$

01.04.2007, 23:26

zitroneneis

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ok.
wenn u = t - 3 dann ergibt sich: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{u + 3}{u} ~du = u + 3 ln \mid t - 3 \mid = \sqrt{2x + 1} - 3 + 3 ln \mid \sqrt{2x + 1} - 3 \mid \end{eqnarray*}$ .

stimmt das so weit?

edit: hatte noch einen fehler entdeckt.

02.04.2007, 11:01

Dini30453

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} t= 2x+1 \end{eqnarray*}$ setze, geht es auch, dann lauetet mein Integral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{t}-3}~~dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2}dt \end{eqnarray*}$ . Das heisst das Integral heisst dann komplett: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{t}-3}~~\frac{1}{2}dt \end{eqnarray*}$ und davon lässt sich dann leicht die Stammfunktion bilden......
Edit:leider ein paar mal verschrieben unglücklich

02.04.2007, 11:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dini30453
... und davon lässt sich dann leicht die Stammfunktion bilden......

Hmm.

Also ich denke, daß ich ganz gut integrieren kann. Aber davon sehe ich auf Anhieb keine Stammfunktion.

02.04.2007, 11:28

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"Leicht" ist eben sehr subjektiv. Nach meiner Einschätzung ist die Integration nach dieser linearen Substitution in etwa genauso "leicht" wie das Originalproblem. Aber mein Auge ist eben vielleicht nicht so gut wie das von Dini30453. Augenzwinkern

02.04.2007, 11:55

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
"Leicht" ist eben sehr subjektiv.

Genau.
Wie unmittelbar zu sehen kommt man mit den Substitutionen

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{2x + 1} +3 \ln{\left( 3 - \sqrt{2x + 1} \right)} \end{eqnarray*}$ für das Intervall $\begin{eqnarray*} \left( - \frac{1}{2} \, , \, 4 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{2x + 1} +3 \ln{\left( \sqrt{2x + 1} - 3 \right)} \end{eqnarray*}$ für das Intervall $\begin{eqnarray*} \left( 4 \, , \, \infty \right) \end{eqnarray*}$

ans Ziel. Es gilt nämlich jeweils

$\begin{eqnarray*} \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2x + 1} - 3} \end{eqnarray*}$

so daß man folgendermaßen umformen kann:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2x + 1} - 3} \ = \ \int~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Und das letzte Integral löst sich leicht berechnen.

Hinweis
Für alle, die das nicht gemerkt haben: Das ist ein ernst gemeinter Scherzbeitrag!

02.04.2007, 11:56

Dini30453

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Das sollte auch keine Beleidugung deiner Fähigkeiten als "Integrant" sein, ich griff nur auf das zurück,wie wir das bei uns an der Uni gelernt haben, wenn man 2x-1 ableitet, dann kommt ja 2 heraus, daher kommt dann das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ heraus, wenn ich das alles integriere(also das Integral, welches ich hingeschrieben habe), dann bekomme ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}ln (\sqrt{2x+1} )-3+ C \end{eqnarray*}$ heraus.

02.04.2007, 12:00

Dini30453

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Aber wiegesagt, sollte das falsch sein, dann ist es eben so..man lernt ja nie aus, jetzt wurde ja ein ausführlicher anderer Rechenweg hingeschrieben.... Freude

02.04.2007, 12:07

Leopold

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Zitat:

Original von Dini30453
Das sollte auch keine Beleidugung deiner Fähigkeiten als "Integrant" sein

"Integrant" finde ich lustig. Fast hätte ich gesagt: Dieses Wort schreibt man aber hinten mit weichem "d". Aber nein! Hier stimmt es so. Hier geht es nämlich nicht um die Funktion, deren Integral bestimmt werden soll, sondern um das lebendige Subjekt, das diese Tätigkeit im Schweiße seines Angesichts ausführt.

Wieder ein neues Wort gelernt ... Big Laugh

02.04.2007, 12:08

klarsoweit

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Wegen $\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{2x+1} ) = \frac 1 2 \cdot ln(2x+1) \end{eqnarray*}$ dürfte beim Ableiten nicht der gesuchte Integrand rauskommen. Augenzwinkern

02.04.2007, 12:24

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Was folgendes zeigt: In unsicheren Fällen sollte sich der Integrant zwecks Probe als Differentiant (oder Differant verwirrt

) betätigen...

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