[WS] Numerische Integration - Beispiele |
01.04.2007, 23:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
[WS] Numerische Integration - Beispiele
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02.04.2007, 00:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
1. Abgeschlossene Newton-Cotes Formeln Berechnung der Gewichte und Quadraturfehler für n = 1, 2, 3 Dafür verwenden wir die im Theorieteil erhaltene Gestalt: |
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02.04.2007, 00:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
1a. Trapezregel Berechnung der Gewichte Quadraturformel Als Näherung für das Integral erhält man hier die Quadraturformel: Geometrische Interpretation http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bb/Sehnentrapezformel.svg/373px-Sehnentrapezformel.svg.png Anschaulich hätte man die Formel auch aus der Berechnung des Flächeninhalts des roten Trapezes erhalten können. Desweiteren erkennt man, dass die interpolierende Polynomfunktion linear ist. Berechnung des Quadraturfehlers Hier ist n=1 ungerade, daher nehmen wir die Standardfehlerformel. Dabei ist die Funktion (t-0)(t-1) auf [0,1] nicht positiv. |
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02.04.2007, 02:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
1b. Simpson-Regel oder Keplersche Faßregel Berechnung der Gewichte Quadraturformel Als Näherung für das Integral erhält man hier die Quadraturformel: Geometrische Interpretation http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Simpson_rule.png/800px-Simpson_rule.png Warum die Regel auch Keplersche Faßregel heißt, kann hier zum Einstieg nachgelesen werden. Ansonsten erkennt man in der Grafik schön, dass die interpolierende Polynomfunktion den Grad 2 hat. Berechnung des Quadraturfehlers Da n=2 gerade ist, wählen wir einen weiteren Knoten . Mit der Fehlerformel für gerades n ergibt sich dann: Dabei ist die Funktion nichtpositiv auf [0,1]: |
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12.04.2007, 15:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
1c. Pulcherrima oder 3/8 Regel Berechnung der Gewichte Quadraturformel Als Näherung für das Integral erhält man hier die Quadraturformel: |
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12.04.2007, 17:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
2. Offene Newton-Cotes Formeln Berechnung der Gewichte und Quadraturfehler für n = 0, 1, 2 Dafür verwenden wir die im Theorieteil erhaltene Gestalt: |
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12.04.2007, 19:30 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
2a. Mittelpunktsregel Berechnung der Gewichte Quadraturformel Als Näherung für das Integral erhält man hier die Quadraturformel: Geometrische Interpretation http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Mittelpunktsregel.svg/386px-Mittelpunktsregel.svg.png Quadraturfehler Da n gerade ist, wählen wir einen weiteren Knoten . Mit der Fehlerformel für gerades n ergibt sich dann: |
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12.04.2007, 19:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
2b. offene NC für n=1 Berechnung der Gewichte Quadraturformel Als Näherung für das Integral erhält man hier die Quadraturformel: |
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12.04.2007, 20:40 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
2c. offene NC für n=2 Berechnung der Gewichte Quadraturformel Als Näherung für das Integral erhält man hier die Quadraturformel: |
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16.04.2007, 00:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
3. Bezug zum Riemann-Integral Hier soll das Integral für die Funktion durch die oben aufgeführten Verfahren visualisiert werden. Hierbei soll der im Theorie-Teil erwähnte Ansatz der Treppenfunktion verdeutlicht werden. Geschlossene NC-Formeln [attach]8484[/attach][attach]8485[/attach][attach]8486[/attach] Offene NC-Formeln [attach]8487[/attach][attach]8488[/attach] |
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18.04.2007, 22:43 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
4. Vorgegebene Genauigkeit erreichen Nun wollen wir uns der praktischen Aufgabe stellen, eine gegebene Funktion mittels der Bisher genannten Verfahren auf eine bestimmte Genauigkeit zu integrieren. Das erste i.A. konvergente Verfahren waren die summierten Newton-Cotes Formeln. Generell gilt es auch zu bedenken, dass das Auswerten einer Funktion (was ja immer nötig ist) auch mit Rechenaufwand verbunden ist und i.A. auch schon mit Fehlern belastet ist. Beispielaufgabe: Bestimme das Integral mit einer Fehlergenauigkeit von Sammeln wir zunächst ein paar Informationen über die Funktion. Grob ergibt sich durch Abschätzung der Faktoren: |
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25.04.2007, 09:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
4a. Trapezregel Aus dem Theorieteil wissen wir, dass es sich bei der Trapezregel (abgeschlossene NC-Regel mit gerader Anzahl von Stützstellen) um eine Quadraturformel der Ordnung 2 handelt, d.h. alle werden exakt integriert. Es sind2 Funktionsauswertungen nötig. Wie gut wird das Ergebnis sein? Werfen wir einen Blick in die Fehlerabschätzung: Wir erreichen so (mit 2 Auswertungen) noch nicht die geforderte Genauigkeit. Daher wollen wir es mit der Summierten Trapezregel versuchen. An wie vielen Stellen muss dabei die Funktion (in Abhängigkeit von der Teilintervallanzahl N) ausgewertet werden? Ab N>1 ist die Funktion also an (N+1)-Stellen auswerten. Wie können wir dann das Integral approximieren? Damit ergibt sich für die geforderte Genauigkeit: Für die Anzahl der Teilintervalle bedeutet dies dann: D.h. mit N=5 sollte die gewünschte Genauigkeit erreicht worden sein. [attach]8506[/attach] |
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25.04.2007, 09:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
4b. Ordnung der Quadraturformel Die Potenz mit der h ist der Fehlerabschätzung auftaucht spielt also eine entscheidende Rolle. Was wäre, wenn wir nur eine Formel der Ordnung 1 hätten? Diese müssen wir uns nun erst noch basteln, da aufgrund der symmetrischen Lage der Knoten bei den NC-Formeln man immer Ordnugnen > 1 erhält. Wir wählen einfach die "Links-Regel" und setzten Es ist dann: Somit erhalten wir Für die Summierte Formel ergibt sich dann: Analoge Rechnungen wie in 4a ergeben dann, dass N>16 sein um das Integral der Funktion mit der gewünschten Genauigkeit zu berechnen. |
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27.08.2008, 05:03 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
5. Adaptive Formeln Ziel ist die adaptive Berechnung des Integrals. Beginnen wir mit der Bestimmung des ersten Teilintervalls, also [-1,?]. Zunächst einmal ein paar Vergleichswerte: 1. Durchlauf 2. Durchlauf 3. Durchlauf D.h. nach 3 Durchläufen ist für das Intervall [-1,-0.5] die geforderte Genauigkeit erreicht. Mit einen kleinen Matlabfile, welches die Länge des letzten "erfolgreichen" Integrals für den neuen Durchlauf verdoppelt, erhält man:
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26.09.2008, 00:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
6. Romberg-Integration Es soll das Integral approximiert werden. Dazu bestimmt man zu verschiedenen Schrittweiten den Wert der summierten Trapezregel
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