wachstum und zerfall

02.04.2007, 12:42

N3M0

wachstum und zerfall

hi, wir machen demnächst die e-funktion in der schule und da hab ich mir das schon mal angeschaut und eine aufgabe gerechnet, kann sich das mal einer anschauen und mir sagen ob ich richtig gerechnet habe?

Die mittlere Wachstumsrate der Weltbevölkerung beträgt z.Zt. etwa $\begin{eqnarray*} r=0,015 \end{eqnarray*}$ .

a) Stellen sie die Wachstumsfunktion in abhängigkeit der Zeit t in jahren auf, ausgehend von 5,7 Mrd. Menschen im Jahr 1995.

b) Wie viele Menschen werden voraussichtlich eine Generation später (ca. 30 Jahre) unsere Erde bevölkern?

c) In welchem Jahr ist unter der Annahme einer konstanten Wachstumsrate mit einer Verdopplung der Menschheit zu rechnen?

a) $\begin{eqnarray*} g(t)= 5,7\cdot e^{0,015t} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} 8,939 = 5,7\cdot e^{0,015\cdot30} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} 11,4=5,7\cdot e^{0,015t} \end{eqnarray*}$

Lösung: im Jahr 2042, ich hab das jetzt mal aufgerundet.

02.04.2007, 18:13

mYthos

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Die Wachstumsrate ist die jährliche Zunahme unter der Annahme eines Anfangswertes 1, d.h. bei r = 1,015 wächst die Bevölkerung um 1,5% im Jahr. Du darfst nun r NICHT unter Weglassen des ganzzahligen Anteiles direkt in den Exponenten der e-Funktion schreiben! Vielmehr ist

$\begin{eqnarray*} g(t) = g(0) \cdot r^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(t) = g(0) \cdot 1,015^t \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} g(t) = g(0) \cdot e^{(\ln 1,015)t} \end{eqnarray*}$

Somit stimmen deine Ergebnisse nicht. Der Fehler ist zwar zufällig nicht sehr groß, aber er besteht: $\begin{eqnarray*} e^{0,015}=1,015113 \end{eqnarray*}$ und nicht 1,015!

Zu c): Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2 = 1,015^t \end{eqnarray*}$

nach t lösen!

mY+

02.04.2007, 18:45

N3M0

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ich hab hier in meinem mathebuch stehen: $\begin{eqnarray*} g(x)=a\cdot e^{r \cdot x} \end{eqnarray*}$

ich dachte ich könnte einfach einsetzen.

t=46,55 ?

02.04.2007, 19:47

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Da gibt's wohl unterschiedliche Interpretationen zum Begriff Wachstumsrate: Die von mYthos, und die die du kennengelernt hast. Beide haben ihre Berechtigung und sind wegen

$\begin{eqnarray*} e^r \approx 1+r \end{eqnarray*}$ für sehr kleine $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} |r| \ll 1 \end{eqnarray*}$

ja auch fast identisch. Aber natürlich rechnest du am besten so, wie du es kennengelernt hast.

02.04.2007, 19:56

N3M0

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ich will aber so rechnen ist wie es richtig ist smile

also ist das in meinem mathebuch nicht so 100% korekt? da steht nämlich auch nix davon, dass das nur für kleine werte gillt.

02.04.2007, 20:01

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Dann muss ich mich wohl wiederholen:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Beide haben ihre Berechtigung

Und in so einem unklaren Fall gilt dann:

Wess Brot ich ess, dess Lied ich sing'.

Und wenn das in dem Lehrbuch, was bei euch Grundlage ist, so steht, dann sollte man nicht auf andere (nicht notwendig "richtigere") Varianten setzen.

02.04.2007, 20:03

N3M0

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wie du meinst smile

02.04.2007, 20:06

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Du kannst ja beide Variante durchrechnen, wenn du willst. Da die Unterschiede erst in der vierten, vielleicht dritten Stelle auftauchen, wäre das auch keine Katastrophe. Aber engschädelige Lehrer könnten trotzdem eine Krise kriegen - ich hoffe natürlich nicht, dass du solche Lehrer hast. Augenzwinkern

02.04.2007, 22:18

N3M0

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ach meinem lehrer ist das bestimmt egal, ich war nur verunsichert, weil es zwei methoden gibt und ich wissen wollte welche die bessere ist oder die richtigere.

03.04.2007, 01:25

mYthos

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Es gibt allerdings nur die richtige Lösung (keine richtigere Big Laugh

), und in dieser Hinsicht muss ich etwas klarstellen:

Zitat:

Original von N3M0
ich hab hier in meinem mathebuch stehen: $\begin{eqnarray*} g(x)=a\cdot e^{r \cdot x} \end{eqnarray*}$

ich dachte ich könnte einfach einsetzen.

t=46,55 ?

Dann ist es eindeutig und du kannst wirklich so einsetzen! Es gibt in diesem Fall keinen Zweifel über r - es ist die Wachstumskonstante - und diese gehört tatsächlich in die e-Potenz und deine Ergebnisse stimmen. Sorry für die Verwirrung, war nicht meine Absicht, ich habe den Begriff Wachstumsrate anders interpretiert.

mY+

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