Polynome

02.04.2007, 13:40

jenny1986

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Polynome

Hallo erstmal, ich hätte da bei einer Aufgabe ein Problem ich weiß nicht wie ich das angehen soll. Ich wäre froh wenn einer mir da etwas behilflich sein kann.

Ich danke jetzt schon mal.

Es sei K ein Körper, und $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R_3[x] \end{eqnarray*}$ der Vektorraum aller Polynome p vom Grad kleiner gleich 3. Wir defienieren eine Lineare Abbildung

$\begin{eqnarray*} f: V \to V, p(x) \to p(x-1). \end{eqnarray*}$

Wählen sie eine Basis $\begin{eqnarray*} p_1 ,..., p_4 \in V \end{eqnarray*}$ und bestimmen Sie die darstellende MAtrix $\begin{eqnarray*} A_f \end{eqnarray*}$ von f bezüglich dieser Basis. Berechnen Sie die Funktion

$\begin{eqnarray*} XA_f (f) := det (t E_4 - A_f), t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Bitte um etwas Hilfe

gruss jenny

02.04.2007, 13:56

klarsoweit

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RE: Polynome
Du brauchst erstmal eine Basis des Vektorraums V und dann die Bilder der Basisvektoren unter der Abbildung f. Diese mußt du dann wieder in der Basis von V darstellen. Die jeweiligen Koordinatenvektoren bilden dann die Spalten der Abbildungsmatrix.

02.04.2007, 14:19

jenny1986

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$\begin{eqnarray*} V = \mathbb R_3[x] \end{eqnarray*}$

Basis des Vektorraum V lautet dies so vieleicht.

$\begin{eqnarray*} (1,x,x^{2} ,x^{3}) \end{eqnarray*}$

hab ich da was nicht beachtet

gruss jenny

02.04.2007, 14:37

therisen

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Genau, und jetzt berechne doch mal der Reihe nach $\begin{eqnarray*} f(1), f(x), f(x^2), f(x^3) \end{eqnarray*}$ .

Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} f(x) = x-1 \end{eqnarray*}$ , also lautet die 2. Spalte deiner Matrix $\begin{eqnarray*} (-1, 1,0,0)^t \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

02.04.2007, 14:52

jenny1986

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$\begin{eqnarray*} f(1) = 1-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x^{2}) = x^{2}-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{3}-1 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf die Spalten der Matrix?
Könntest du mir das mal erklären?

gruss jenny86

02.04.2007, 15:01

therisen

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Dein f(1) stimmt nicht, denk' nochmal nach.

Wie man auf die Spalten kommt? Ganz einfach: Du schreibst jedes $\begin{eqnarray*} f(b_i) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ das i-te Element deiner Standardbasis ist als Linearkombination der Standardbasis. Kurz: Da es die Standardbasis ist, musst du nur die Koeffizienten der $\begin{eqnarray*} 1,x,x^2,x^3 \end{eqnarray*}$ in deine Matrix schreiben. Beispiel: Gilt $\begin{eqnarray*} f(b_i) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$ , so lautet die i-te Spalte $\begin{eqnarray*} (a_3,a_2,a_1,a_0)^t \end{eqnarray*}$ . Natürlich können die Koeffizienten auch gleich Null sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

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02.04.2007, 15:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von therisen
Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} f(x) = x-1 \end{eqnarray*}$

Das ist für meine Begriffe ungenau. f bildet Polynome auf Polynome ab. Ist also p ein Polynom mit p(x)=x, dann ist q := f(p) ein Polynom mit q(x)=p(x-1)=x-1. Das ist ein feinfühliger Unterschied, der aber bewirkt, daß jenny die Bilder der Basispolynome nicht richtig berechnet.

02.04.2007, 15:31

jenny1986

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$\begin{eqnarray*} f(1) = 0x^3 + 0x^2 + 0x -1*1 \end{eqnarray*}$
Die erste Spalte meiner Matrix $\begin{eqnarray*} (-1,0,0,0)^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0x^{3} + 0x^{2} + 1x - 1 \end{eqnarray*}$
Die zweite Spalte meiner Matrix $\begin{eqnarray*} (-1,1,0,0)^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^{2}) =0x^{3} + 1x^{2} +0x - 1 \end{eqnarray*}$
Die dritte Spalte meiner Matrix $\begin{eqnarray*} (-1,0,1,0)^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^3) = 1x^{3} + 0x^{2} + 0x - 1 \end{eqnarray*}$
Die vierte Spalte meiner Matrix $\begin{eqnarray*} (-1,0,0,1)^t \end{eqnarray*}$

und

gruss jenny

02.04.2007, 15:36

therisen

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Das ist leider fast alles falsch. Du musst konsequent x durch $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ ersetzen. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} f(x^3) = (x-1)^3 \end{eqnarray*}$

@klarsoweit: Du hast Recht, es ist ungenau, spart aber Schreibarbeit. Ich weiß ja was gemeint ist, aber jenny wohl leider nicht. Also jenny, aus didaktischen Gründen solltest du dir klarsoweits Beitrag genau durchlesen.

Gruß, therisen

02.04.2007, 16:09

jenny1986

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$\begin{eqnarray*} f(x^3)= (x - 1)^3 =x^3 - 3 x^{2} + 3x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^2)= (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) = 1 + 0*(x-1) \end{eqnarray*}$

die erste spalte $\begin{eqnarray*} (0,0,0,1)^t \end{eqnarray*}$
die zweite Spalte $\begin{eqnarray*} (-1,1,0,0)^t \end{eqnarray*}$
die dritte spalte $\begin{eqnarray*} (0,1,2,1)^t \end{eqnarray*}$
die vierte spalte $\begin{eqnarray*} (-1,3,3,1)^t \end{eqnarray*}$

02.04.2007, 16:12

therisen

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Nein, nicht ganz. Die erste Spalte ist falsch. Es müsste $\begin{eqnarray*} (1,0,0,0)^t \end{eqnarray*}$ lauten. Entsprechendes gilt für die anderen Spalten. Du hast zwar alles richtig berechnet, aber falsch in deine Matrix geschrieben. Schau dir hierzu nochmal meinen obigen Beitrag an!

02.04.2007, 16:20

jenny1986

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Zitat:

Original von therisen

Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} f(x) = x-1 \end{eqnarray*}$ , also lautet die 2. Spalte deiner Matrix $\begin{eqnarray*} (-1, 1,0,0)^t \end{eqnarray*}$ .

hab ich mir gedacht nur du hast ja bei der Spalte 2 auch andersrum geschrieben deswegen hab ich auch alle rückwärts geschrieben.

egal

meine Martrix lautet dan so

$\begin{eqnarray*} A_f = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gruss jenny

02.04.2007, 16:25

jenny1986

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einige Vorzeichen waren falsch so müsste es stimmen

$\begin{eqnarray*} A_f = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.04.2007, 16:28

jenny1986

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shitt voll durcheinander gekommen hab mich voll vertan die konzentration fällt nach brauch etwas pause sorry mein fehler

$\begin{eqnarray*} A_f = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.04.2007, 16:32

WebFritzi

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Wenn du die Matrix transponierst, stimmt's. therisen erzählt dir ja keinen Quatsch...

02.04.2007, 16:33

therisen

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Zitat:

Original von jenny1986
$\begin{eqnarray*} f(x^3)= (x - 1)^3 =x^3 - 3 x^{2} + 3x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^2)= (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= x - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(1) = 1 + 0*(x-1) \end{eqnarray*}$

Dann wollen wir mal der Qual ein Ende bereiten:

$\begin{eqnarray*} A_f = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So - und nicht anders!

Gruß, therisen

02.04.2007, 17:46

jenny1986

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sorry wenn ich dich etwas genervt hab, trotzdem danke das du durchgehalten hast, hat mir echt viel geholfen. Gut machst du das mit dem erklären.

Danke

jetzt muss ich mit der Matrix die funktion berechnen

$\begin{eqnarray*} XA_f (f) := det (t E_4 - A_f), t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also wenn man die Matrizen subtrahiert
bekommt man

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} t-1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & t-1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & t-1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & t-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

NAch dem ich die determinante berechnet habe kam ich auf

$\begin{eqnarray*} XA_f = (t-4)^4 , t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

02.04.2007, 17:49

jenny1986

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$\begin{eqnarray*} XA_f = (t-1)^4 , t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

stimmt das so soweit oder hab ich wieder ein fehler gemacht

02.04.2007, 17:51

therisen

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Ja, das ist richtig Freude

Freude

02.04.2007, 17:53

jenny1986

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ich dank dir nochmals hast mir echt geholfen

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