Höhenschnittpunkt im Dreieck [Aufgabe für DIN-A1-Zettel]

10.11.2004, 19:57

MaggotManson

Höhenschnittpunkt im Dreieck [Aufgabe für DIN-A1-Zettel]

Aufgabenstellung
Seien $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq b, c \notin G_{a,b-a} \end{eqnarray*}$ gegeben. Als "Höhen im Dreieck $\begin{eqnarray*} (a, b, c) \end{eqnarray*}$ " bezeichnet man die Geraden durch die Punkte $\begin{eqnarray*} a, b, c \end{eqnarray*}$ , die auf den Geraden durch die anderen beiden Punkte senkrecht stehen. Zeigen Sie, dass sich die drei Höhen in genau einem Punkt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ schneiden, und geben Sie eine Formel zur Berechnung dieses "Höhenschnittpunkts" an.

Holzlösungsweg

Lotvektoren zu den Dreiecksseiten
$\begin{eqnarray*} (b-c)_{}^{senkrecht} = \begin{pmatrix} c_2 & -b_2 \\ b_1 & -c_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (c-a)_{}^{senkrecht} = \begin{pmatrix} a_2 & -c_2 \\ c_1 & -a_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a-b)_{}^{senkrecht} = \begin{pmatrix} b_2 & -a_2 \\ a_1 & -b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man stellt zunächst die Geradengleichungen auf.

Höhe durch Punkt a:
$\begin{eqnarray*} G_{a,b-c} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \omega * \begin{pmatrix} c_2 & -b_2 \\ b_1 & -c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Höhe durch Punkt b:
$\begin{eqnarray*} G_{b,c-a} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} a_2 & -c_2 \\ c_1 & -a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Höhe durch Punkt c:
$\begin{eqnarray*} G_{c,a-b} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} + \gamma * \begin{pmatrix} b_2 & -a_2 \\ a_1 & -b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gleichsetzen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \omega * \begin{pmatrix} c_2 & -b_2 \\ b_1 & -c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} a_2 & -c_2 \\ c_1 & -a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Multipliziert mit dem Vektor $\begin{eqnarray*} b-c \end{eqnarray*}$ ergibt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} b_1 & -c_1 \\ b_2 & -c_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} b_1 & -c_1 \\ b_2 & -c_2 \end{pmatrix} = \lambda * \begin{pmatrix} a_2 & -c_2 \\ c_1 & -a_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & -c_1 \\ b_2 & -c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Lambda freistellen und links a*... - b*... zusammenfassen zu (a-b)*...

$\begin{eqnarray*} \frac{(a_1 - b_1)*(b_1 - c_1) + (a_2 - b_2)*(b_2 - c_2)}{(a_2 - c_2)*(b_1 - c_1) + (c_1 - a_1)*(b_2 - c_2)} = \lambda \end{eqnarray*}$

Zweite und dritte Gleichung gleichsetzen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \omega * \begin{pmatrix} c_2 & -b_2 \\ b_1 & -c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} + \gamma * \begin{pmatrix} b_2 & -a_2 \\ a_1 & -b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b_1 & -c_1 \\ b_2 & -c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b_1 & -c_1 \\ b_2 & -c_2 \end{pmatrix} + \gamma * \begin{pmatrix} b_2 & -a_2 \\ a_1 & -b_1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} b_1 & -c_1 \\ b_2 & -c_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(a_1-c_1)*(b_1-c_1)+(a_2-c_2)*(b_2-c_2)}{(b_2-a_2)*(b_1-c_1)+(a_1-b_1)*(b_2-c_2)} = \gamma \end{eqnarray*}$

Schnittpunktberechnung
Erstmal Lambda einsetzen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} + \frac{(a_1 - b_1)*(b_1 - c_1) + (a_2 - b_2)*(b_2 - c_2)}{(a_2 - c_2)*(b_1 - c_1) + (c_1 - a_1)*(b_2 - c_2)} * \begin{pmatrix} a_2 & - c_2 \\ c_1 & -a_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit Gamma
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} + \frac{(a_1 - c_1)*(b_1 - c_1) + (a_2 - c_2)*(b_2 - c_2)}{(b_2 - a_2)*(b_1 - c_1) + (a_1 - b_1)*(b_2 - c_2)} * \begin{pmatrix} b_2 & -a_2 \\ a_1 & -b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da ich mir ziemlich unsicher war, ob das stimmt, hab ich mal ein Beispiel eingesetzt. Und, Überaschung, es geht natürlich nicht auf. Ich hoffe, mir kann jemand sagen, wo hier der Fehler liegt.

Beispiel:
a = (1 / 1)
b = (1 / 4)
c = (2 / 5)

Gleichsetzen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \frac{(1 - 1)*(1 - 2) + (1 - 4)*(4 - 5)}{(1 - 5)*(1 - 2) + (2 - 1)*(4 - 5)} * \begin{pmatrix} 1 & - 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \frac{(1 - 2)*(1 - 2) + (1 - 5)*(4 - 5)}{(4 - 1)*(1 - 2) + (1 - 1)*(4 - 5)} * \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \frac{0*(-1) + (-3)*(-1)}{(-4)*(-1) + (1)*(-1)} * \begin{pmatrix} 1 & - 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \frac{(-1)*(-1) + (-4)*(-1)}{3*(-1) + (0)*(-1)} * \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \frac{3}{3} * \begin{pmatrix} 1 & - 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \frac{5}{-3} * \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \frac{5}{-3} * \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke

[Alter Versuch]

Gleichsetzen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} + \frac{(a_1 - b_1)*(b_1 - c_1) + (a_2 - b_2)*(b_2 - c_2)}{(a_2 - c_2)*(b_1 - c_1) + (c_1 - a_1)*(b_2 - c_2)} * \begin{pmatrix} a_2 & - c_2 \\ c_1 & -a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} + \frac{(a_1 - c_1)*(b_1 - c_1) + (a_2 - c_2)*(b_2 - c_2)}{(b_2 - a_2)*(b_1 - c_1) + (a_1 - b_1)*(b_2 - c_2)} * \begin{pmatrix} b_2 & -a_2 \\ a_1 & -b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur erste Koordinate betrachten
$\begin{eqnarray*} b_1 + \frac{(a_1 - b_1)*(b_1 - c_1) + (a_2 - b_2)*(b_2 - c_2)}{(a_2 - c_2)*(b_1 - c_1) + (c_1 - a_1)*(b_2 - c_2)} * (a_2 - c_2) = c_1 + \frac{(a_1 - c_1)*(b_1 - c_1) + (a_2 - c_2)*(b_2 - c_2)}{(b_2 - a_2)*(b_1 - c_1) + (a_1 - b_1)*(b_2 - c_2)} * (b_2 - a_2) \end{eqnarray*}$

[Falls sich jemand über das DIN-A1 wundert, ich hab versucht, alles auszumultiplizieren, aber das wurde immer größer ohne Aussicht auf Erfolg (zumindest für mich).]

10.11.2004, 20:26

Poff

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RE: Höhenschnittpunkt im Dreieck [Aufgabe für DIN-A1-Zettel]
Zur Schnittpunktbestimmung brauchst nur 2 Höhen schneiden.

Dass auch die dritte durch den Punkt läuft überprüfst durch
Einsetzen des ermittelten Punktes.

Vielleicht solltest zuvor auch ein Punkt in den Ursprung legen ...
.

10.11.2004, 20:52

Leopold

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Von Carl Friedrich Gauß gibt es einen alten Trick, wie man den Höhenschnittpunktsatz auf den Mittelsenkrechtenschnittpunktsatz zurückführt.

Gehen wir also einmal davon aus, der letztere sei bewiesen. Dann ziehe man im Dreieck ABC Parallelen zu den Seiten durch die gegenüberliegenden Eckpunkte. Diese Parallelen bestimmen ein Dreieck A'B'C' (A' gegenüber von A, B' gegenüber von B, C' gegenüber von C). Die Höhen des Dreiecks ABC sind die Mittelsenkrechten des Dreiecks A'B'C'. Damit schneiden sich die Höhen in einem Punkt.

Diesen Beweis kann man in die Analytische Geometrie übersetzen. Ich übernehme deine Bezeichnungen.

Zunächst beweisen wir den Mittelsenkrechtenschnittpunktsatz.
Die Mittelsenkrechte der durch a,b bestimmten Strecke geht durch den Punkt ½(a+b). Ein Normalenvektor der Mittelsenkrechten ist a-b.
Damit ist (a-b)(x-½(a+b))=0 eine Gleichung der Mittelsenkrechten. Wir multiplizieren die Gleichung noch mit 2 durch und bringen Glieder auf die andere Seite. Durch zyklische Vertauschung findet man die Gleichungen der anderen Mittelsenkrechten. Die drei Gleichungen sind

I 2(a-b)x=a²-b²
II 2(b-c)x=b²-c²
III 2(c-a)x=c²-a²

Schreibt man die Vektoren in Koordinaten, so sind I,II,III lineare Gleichungen in den beiden Koordinaten des Vektors x.
Die Vektoren a-b und b-c sind linear unabhängig, denn nach Voraussetzung sollen a,b,c nicht auf einer Geraden liegen. Also besitzt das durch I,II bestimmte lineare Gleichungssystem genau eine Lösung m. Für m gelten also zugleich

2(a-b)m=a²-b² und 2(b-c)m=b²-c²

Addiert man diese Gleichungen, so findet man 2(a-c)m=a²-c², also auch III. Dadurch liegt der Schnittpunkt der durch I,II festgelegten Mittelsenkrechten auch auf der durch III bestimmten Mittelsenkrechten.
Der Mittelsenkrechtenschnittpunktsatz ist damit bewiesen.

Und jetzt ahmen wir den Gaußschen Trick nach. Wie du dir an einer Zeichnung leicht überlegen kannst (siehe Anfang meines Beitrags), gelten

a'=-a+b+c, b'=a-b+c, c'=a+b-c .

Das Dreieck mit den Ecken a',b',c' besitze m' als Schnitt seiner Mittelsenkrechten. Es gelten also I,II,III mit den gestrichenen Größen statt der ungestrichenen und m' statt x. Jetzt ersetzt du in den Gleichungen die a',b',c' durch ihre Ausdrücke in a,b,c (wegen der zyklischen Anordnung brauchst du das nur für eine Gleichung tun). Aus der ersten Gleichung bekommst du nach wenig Rechnung

4(-a+b)m'=-4ac+4bc
(-a+b)(m'-c)=0

Die Gleichung (-a+b)(x-c)=0 ist aber die Gleichung der Höhe durch c, was bedeutet, daß m' auf dieser Höhe liegt. Wie schon ausgeführt, muß m' aufgrund der zyklischen Anordnung auch auf den beiden anderen Höhen liegen. Also ist m' der Höhenschnittpunkt im Dreieck mit den Ecken a,b,c.

11.11.2004, 14:34

MaggotManson

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Moin

Erstmal danke für die Hilfe. Freude

Ich hab es aber trotzdem erstmal ohne dieses Hilfsdreieck versucht, und glaube, diesmal ging es sogar auf.

Die gestrichenen Vektoren beschreiben den Vektor, der senkrecht auf dem genannten steht.

Höhengleichungen durch a und b gleichsetzen und nach Lambda auflösen
$\begin{eqnarray*} a + \omega * (b-c)' = b + \lambda * (c-a)' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * (b-c) = b * (b-c) + \lambda * (c-a)'*(b-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * (b-c) - b * (b-c) = \lambda * (c-a)'*(b-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b) * (b-c) = \lambda * (c-a)'*(b-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(a-b) * (b-c)}{(c-a)'*(b-c)} = \lambda \end{eqnarray*}$

Höhengleichungen durch b und c gleichsetzen und nach Gamma auflösen
$\begin{eqnarray*} b + \lambda * (c-a)' = c + \gamma * (a-b)' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b * (c-a) = c * (c-a) + \gamma * (a-b)'*(c-a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma = \frac{(b-c)*(c-a)}{(a-b)'*(c-a)} \end{eqnarray*}$

Höhengleichungen durch a und c gleichsetzen und nach Omega auflösen
$\begin{eqnarray*} a + \omega * (b-c)' = c + \gamma * (a-b)' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * (a-b) + \omega * (b-c)'*(a-b) = c * (a-b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega = \frac{(c-a)*(a-b)}{(b-c)'*(a-b)} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen
$\begin{eqnarray*} b + \frac{(a-b) * (b-c)}{(c-a)'*(b-c)} * (c-a)' = c + \frac{(b-c)*(c-a)}{(a-b)'*(c-a)} * (a-b)' \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} a + \frac{(c-a)*(a-b)}{(b-c)'*(a-b)} * (b-c)' = b + \frac{(a-b) * (b-c)}{(c-a)'*(b-c)} * (c-a)' \end{eqnarray*}$

Beweis

Erste Gleichung
$\begin{eqnarray*} b + \frac{(a-b) * (b-c)}{(c-a)'*(b-c)} * (c-a)' = c + \frac{(b-c)*(c-a)}{(a-b)'*(c-a)} * (a-b)' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b * (c-a) = c * (c-a) + \frac{(b-c)*(c-a)}{(a-b)'*(c-a)} * (a-b)'*(c-a) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(b-c)*(c-a)}{(b-c)*(c-a)} = \frac{(a-b)'*(c-a)}{(a-b)'*(c-a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b-c) * (c-a) = \frac{(b-c)*(c-a)}{(a-b)'*(c-a)} * (a-b)'*(c-a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b * (c-a) = c * (c-a) + \frac{(b-c)*(c-a)}{(a-b)'*(c-a)} * (a-b)'*(c-a) \end{eqnarray*}$

Die erste Gleichung ist bewiesen.

Zweite Gleichung
$\begin{eqnarray*} a + \frac{(c-a)*(a-b)}{(b-c)'*(a-b)} * (b-c)' = b + \frac{(a-b) * (b-c)}{(c-a)'*(b-c)} * (c-a)' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * (b-c) = b * (b-c) + \frac{(a-b) * (b-c)}{(c-a)'*(b-c)} * (c-a)'*(b-c) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(a-b) * (b-c)}{(a-b) * (b-c)} = \frac{(c-a)'*(b-c)}{(c-a)'*(b-c)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b) * (b-c) = \frac{(a-b) * (b-c)}{(c-a)'*(b-c)} * (c-a)'*(b-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a * (b-c) = b * (b-c) + \frac{(a-b) * (b-c)}{(c-a)'*(b-c)} * (c-a)'*(b-c) \end{eqnarray*}$

Die Höhen schneiden sich also alle in einem Punkt.

Formel zur Berechnung des Schnittpunkts h:
z.B.: $\begin{eqnarray*} h = a + \frac{(c-a)*(a-b)}{(b-c)'*(a-b)} * (b-c)' \end{eqnarray*}$

12.11.2004, 04:27

Poff

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Zitat:

Original von MaggotManson
...
Formel zur Berechnung des Schnittpunkts h:
z.B.: $\begin{eqnarray*} h = a + \frac{(c-a)*(a-b)}{(b-c)'*(a-b)} * (b-c)' \end{eqnarray*}$

dass das ein Punkt sein soll seh ich noch nicht ganz . Augenzwinkern

18.11.2007, 15:50

Scoobay

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Warum nicht so:

Gegeben ist ein Dreieck ABC und die Höhen schneiden sich im Punkt X.

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} \cdot \vec{XC} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{BC} \cdot \vec{XA} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \vec{AC} \cdot \vec{XB} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot \vec{XB} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{XA} + \vec{AB}) = 0 \end{eqnarray*}$
ausmultiplizieren und dann den Vektor AB Ausklammern. Beachten, dass BC*XA=0!
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{AB} \cdot (\vec{XA} + \vec{AB} + \vec{BC}) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{AB} \cdot \vec{XC} = 0 \end{eqnarray*}$

mfg

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