pythagoräische Zahlentripel

02.04.2007, 22:17

Bernd2

pythagoräische Zahlentripel

Nabend zusammen!

Ich grübel grad an einem dafür, dass es unendlich viele pythagoräische Zahlentrippel gibt. Die Behauptung muss ja lauten:

Alle pythagor"aischen Zahlenrippel mit [/latex]a^2+b^2=c^2[/latex] haben die Form:
$\begin{eqnarray*} $a=\vert u^2 -v^2\vert \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b=2uv \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c=u^2+v^2$ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ggT(u,v)=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ggT(a,b,c) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} $u\not\equiv v \; \mathrm{mod} \; 2$ \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} $a,b,c\in\mathbb{N}$ \end{eqnarray*}$ .

Ich komm aber einfach an der Stelle nicht weiter nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} $u\not\equiv v \; \mathrm{mod} \; 2$ \end{eqnarray*}$ gelten muss…

Könnte mir da jemand helfen?

Schon mal im voraus DANKE!!!!!

LG
Bernd

02.04.2007, 22:38

therisen

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Hallo,

wenn es dir nur darum geht, unendlich viele Lösungen (aber eben nicht alle) anzugeben, dann betrachte mal das Tripel $\begin{eqnarray*} (2k+1, 2k^2+2k, 2k^2+2k+1), \qquad k=1,2,3,\dots, \end{eqnarray*}$

Ansonsten findest du den Beweis in jedem guten Buch über Zahlentheorie.

Gruß, therisen

02.04.2007, 23:08

sqrt4

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Zu den unendlich vielen Zahlentripeln.
Ein mögliches Tripel (3|4|5):

also $\begin{eqnarray*} 3^2+4^2=5^2 \end{eqnarray*}$
Das ganze mit $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren, wobei $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und man erhält offensichtlich neue Lösungen: (wieviele wohl Augenzwinkern

)
$\begin{eqnarray*} (3k)^2+(4k)^2=(5k)^2 \end{eqnarray*}$

03.04.2007, 00:06

Bernd2

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schon mal danke für eure Bemühungen, aber wie beweist man denn jetzt nun genau, dass $\begin{eqnarray*} $u\not\equiv v \; \mathrm{mod} \; 2$ \end{eqnarray*}$ gelten muss??

03.04.2007, 00:39

therisen

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Hallo nochmal,

in dem hier vorliegenden Fall impliziert $\begin{eqnarray*} (a,b,c)=1 \end{eqnarray*}$ die paarweise Teilerfremdheit von $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ .

Man überlegt sich nun weiter, dass von den zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ genau eine gerade sein muss: da $\begin{eqnarray*} (a,b)=1 \end{eqnarray*}$ ist können nicht beide gerade sein; angenommen, es wären beide ungerade, so folgte $\begin{eqnarray*} a^2+b^2\equiv 2 \pmod 4 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} c^2 \not\equiv 2 \pmod 4 \end{eqnarray*}$ . O.B.d.A. sei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gerade (siehe auch deine Angabe).

Gehst du nun von obiger Parameterdarstellung aus und willst nur wissen, warum in dieser nicht $\begin{eqnarray*} u\equiv v\pmod 2 \end{eqnarray*}$ gelten kann?

Dann ist die Antwort: Da $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ungerade ist, kann nicht $\begin{eqnarray*} u\equiv v \pmod 2 \end{eqnarray*}$ gelten, sonst wäre $\begin{eqnarray*} u^2+v^2\equiv 0 \pmod 2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ muss ja ungerade sein. Dann hätte man sich aber obige Vorarbeit sparen können, denn nach obiger Parameterdarstellung ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gerade und wegen $\begin{eqnarray*} (a,b,c)=1 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ungerade sein, aber das wäre dann nicht der Fall (siehe der Satz davor).

Daher denke ich, dass du eher eine Herleitung der obigen Parameterdarstellung suchst.

EDIT: Was heißt eigentlich, du kommst an der Stelle $\begin{eqnarray*} u \not\equiv v \pmod 2 \end{eqnarray*}$ nicht weiter? Teile uns doch mal mit, was du bisher schon hast (falls du überhaupt irgendwas hast), dann wird die ganze Sache etwas klarer. Weil ich glaube mit meinem bisherigen Beitrag ist dir nicht viel geholfen.

Gruß, therisen

03.04.2007, 14:23

Bernd2

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Guten Morgen zusammen!!

@ therisen: Danke du hast genau das erklärt was ich wissen wollte, nämlich genau dieser Teil:

Zitat:

Dann ist die Antwort: Da $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ungerade ist, kann nicht $\begin{eqnarray*} u\equiv v \pmod 2 \end{eqnarray*}$ gelten, sonst wäre $\begin{eqnarray*} u^2+v^2\equiv 0 \pmod 2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ muss ja ungerade sein. Dann hätte man sich aber obige Vorarbeit sparen können, denn nach obiger Parameterdarstellung ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gerade und wegen $\begin{eqnarray*} (a,b,c)=1 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ungerade sein, aber das wäre dann nicht der Fall (siehe der Satz davor).

Das war der Schritt der mir zur Beweisführung fehlte! Wo ich mir das so durchgelesen hab hätt ich ja eigentlich auch selber drauf kommen können traurig

aber naja man sieht halt manchmal den Wald vor lauter Bäumen nicht Augenzwinkern

, also nochmal Besten Dank

Gruß
Bernd

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