Dreieck konstruieren!

03.04.2007, 08:54

Luky

Dreieck konstruieren!

Hi!
Bitte helft mir! Ich muss ein Dreick mit folgenden Werten konstruieren:

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 45°; $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ =105°; b-a=3

Da es hier nicht um die Verhältnisse von a zu b, sondern um die Differenz der Strecken geht, bin ich mit meinem Latein am Ende! Bitte helft mir! Danke schon mal!

03.04.2007, 09:25

Tjamke

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Alle Winkel eines addiert geben 180°, also kannst du schon mal den letzten Winkel ausrechnen...

Edit: Rechne $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ mal aus und schau ob dir das weiter hilft...mach dir eine skizze!

03.04.2007, 09:40

Luky

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schon gemacht. das mit den winkeln ist ja auch kein problem. ich komm nur absolut nicht drauf wie ich die beiden strecken a und b konstruieren soll dass b um genau 3 länger ist als a

03.04.2007, 09:40

Luky

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... und die Winkel dabei alle gleich bleiben.

03.04.2007, 09:42

Tjamke

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Und es gibt wirklich keine weiteren Angaben mehr?

03.04.2007, 09:48

Leopold

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Stichwort: Zentrische Streckung

Beginne mit einem Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ , das schon einmal die richtigen Winkelgrößen besitzt. Zeichne einen Kreis um $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Er schneidet die Seite $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ . Die so gewonnene Figur ist zur gesuchten wegen der Winkelgleichheit ähnlich. Sie muß jetzt nur noch auf die richtige Größe gestreckt werden. Verantwortlich dafür ist die Strecke $\begin{eqnarray*} d = AD \end{eqnarray*}$ . Wenn diese die Länge 3 hätte, wäre die Aufgabe gelöst. Das wäre aber Zufall, wenn das bei deinem Dreieck so wäre.

Markiere ansonsten den Punkt $\begin{eqnarray*} D' \end{eqnarray*}$ auf der Strecke $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so, daß $\begin{eqnarray*} AD' \end{eqnarray*}$ die Länge $\begin{eqnarray*} d'=3 \end{eqnarray*}$ besitzt. Die zentrische Streckung mit dem Streckzentrum $\begin{eqnarray*} Z=A=A' \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} D' \end{eqnarray*}$ abbildet, löst die Aufgabe. Jetzt mußt du nur noch die Bildpunkte $\begin{eqnarray*} B',C' \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ finden. Dann ist $\begin{eqnarray*} A'B'C' \end{eqnarray*}$ das gesuchte Dreieck.

Beachte dazu folgende Grundeigenschaften zentrischer Streckungen:

1. Ein Punkt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und sein Bildpunkt $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ liegen mit dem Streckzentrum $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ auf einer Geraden.

2. Eine Strecke $\begin{eqnarray*} XY \end{eqnarray*}$ und ihre Bildstrecke $\begin{eqnarray*} X'Y' \end{eqnarray*}$ sind stets parallel.

Wende 1. und 2. zunächst auf $\begin{eqnarray*} X=B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y=D \end{eqnarray*}$ an.

03.04.2007, 10:20

riwe

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und das bilderl dazu
werner

03.04.2007, 17:21

Luky

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haltet mich für blöd, aber ich kriegs nicht hin. b ist nie 3cm länger als a. auf deinem bild doch auch nicht werner?!?!

03.04.2007, 17:50

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Zitat:

Original von Leopold
Die so gewonnene Figur ist zur gesuchten wegen der Winkelgleichheit ähnlich. Sie muß jetzt nur noch auf die richtige Größe gestreckt werden.

03.04.2007, 18:17

riwe

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Zitat:

Original von Luky
haltet mich für blöd, aber ich kriegs nicht hin. b ist nie 3cm länger als a. auf deinem bild doch auch nicht werner?!?!

habe es 3 mal nachgemessen Big Laugh

bei mir schon
b - a = 3

mußt halt das genauer lesen, was leopold geschrieben hat
werner

03.04.2007, 18:54

mYthos

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Kinder, Kinder (erpel ausgenommen! Big Laugh

)!

Es gibt eine klassische* und dazu noch einfache Konstruktion ohne Streckung u. dgl.!

Im Dreieck ABC schlagen wir die Seite b in die Seite a, sodass dort der Hilfspunkt C' entsteht. Das Dreieck C'BC ist gleichschenkelig, mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bei C und den Winkeln $\begin{eqnarray*} 90 - \frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ bei B und C'. Daher lässt sich das Dreieck ABC' sofort konstruieren, indem man mit AC'= b-a = 3 beginnt, bei A den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und bei C' den Winkel $\begin{eqnarray*} 90 - \frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ abträgt.

Der Rest ist Ergänzung zum ganzen Dreieck ABC, ein Klacks ...

mY+

*) solche Konstruktionen werden auch angewandt, wenn Summen von Seiten gegeben sind.

03.04.2007, 19:12

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@mYthos

Hatte ich auch dran gedacht, aber dann doch nicht gepostet: Weil diese Konstruktion streng betrachtet auch nicht weniger aufwändig ist, aufgrund einiger notwendiger Hilfswinkel-Konstruktionen, die bei der anderen Konstruktion entfallen. Wenn man diese allerdings "vorberechnen" darf, dann sieht es wirklich besser aus. Augenzwinkern

03.04.2007, 20:09

riwe

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und für mich ist es auch das "universellere" strickmuster, wenn auch nicht so klassisch.
vor kurzen:
gegeben
$\begin{eqnarray*} c: h_c\quad{ }\alpha\quad{ } h_c+w_{\alpha} \end{eqnarray*}$
geht halt genauso einfach
(oder gibt es da auch eine andere konstruktion verwirrt

)
werner

03.04.2007, 21:21

mYthos

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@werner
Dieser Fall wird wegen der Angabe eines Verhältnisses eher mittels einer Ähnlichkeitsabbildung (Streckung) zu lösen sein.
------
Zum Obigen noch eine Skizze.

mY+

03.04.2007, 21:30

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
@werner
Dieser Fall wird wegen der Angabe eines Verhältnisses eher mittels einer Ähnlichkeitsabbildung (Streckung) zu lösen sein.
mY+

eben

und noch dazu ganz einfach
werner

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