Fehlerrechnung mit sin

03.04.2007, 14:59

Bigger83

Fehlerrechnung mit sin

Hallo.

Ich soll den abs. Fehler von: Fx= F cos( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )
mit $\begin{eqnarray*} \alpha = 45°\pm 3° \end{eqnarray*}$ berechnen.

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \Delta F=\mid \frac{\delta F_x}{\delta\alpha}\Delta\alpha \mid \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist, muss ich $\begin{eqnarray*} \Delta\alpha \end{eqnarray*}$ im Grad oder Bogenmaß angeben?

Im Gradmaß hätte ich ja ein Einheitenproblem, aber kann ich das einfach so ins Gradmaß ändern.

Danke

Gruß
Bigger83

03.04.2007, 15:10

mYthos

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Selbstverständlich im Bogenmaß! Wenn man mit den bloßen Argumenten (x-Werten) weiterrechnen will, ist das Bogenmaß unabdingbar (die Winkelfunktion ist nur für Radiant (= das Bogenmaß) definiert).

$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{60} \end{eqnarray*}$

mY+

03.04.2007, 15:19

Bigger83

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Danke.

Also hätte mir unsere Gewohnheit "Faulheit" alles in Grad anzugeben das Genick gebrochen?

Gruß
Bigger83

03.04.2007, 16:11

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Zitat:

Original von Bigger83
Also hätte mir unsere Gewohnheit "Faulheit" alles in Grad anzugeben das Genick gebrochen?

Nicht unbedingt: Wenn du $\begin{eqnarray*} 1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \end{eqnarray*}$ berücksichtigst, geht alles glatt.

Wenn du allerdings das Gradsymbol einfach "weglässt", dann geht die Sache in die Brüche.

03.04.2007, 18:19

mYthos

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Solange man sich in der Trigonometrie bewegt, also Winkel direkt berechnet, ist das Rechnen mit Winkelgraden durchaus legitim. Auch das Verhältnis zweier Winkel ist dimensionslos, daher auch gleichermaßen in Grad zu berechnen.

In der Analysis (Funktionenlehre) jedoch ist die Verwendung des Bogenmaßes auf Grund der Definition der Zuordnung Bogen -> Funktionswert zwingend,

Der Quotient

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd \sin x}{\dd x} \end{eqnarray*}$

hat schließlich nur für das Bogenmaß eine sinngemäße Bedeutung, im Gradmaß für x wäre dieser Wert nicht konform mit der o.a. Definition.

mY+

03.04.2007, 18:30

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Es geht schon konform, folgendermaßen:

Wenn man den Sinus einer Gradzahl meint, dann ist das nicht die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ , sondern

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin\left(x^{\circ}\right) = \sin\left(x \cdot 1^{\circ}\right) \end{eqnarray*}$ .

Die besitzt - konsequent nach Kettenregel - die Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \cos\left(x \cdot 1^{\circ}\right) \cdot 1^{\circ} = \cos\left(x^{\circ}\right) \cdot \frac{\pi}{180} \end{eqnarray*}$ .

Dummerweise denken die meisten boß nicht daran. Augenzwinkern

P.S.: Dieses $\begin{eqnarray*} {}^{\circ} \end{eqnarray*}$ hier bitte nicht als "hoch Null" verstehen, sondern als Winkelmaßeinheit Grad.

03.04.2007, 22:44

mYthos

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Dann müsstest du die Sinusfunktion aber anders definieren. Definiert ist sie dzt. so, dass ihr Argument die Länge des zugehörigen Bogens im Einheitskreis ist.

mY+

03.04.2007, 22:59

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Anders definieren? Nein, wieso?

03.04.2007, 23:23

mYthos

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Weil das Argument der Kreisfunktionen nun mal der BOGEN und nicht die Gradzahl ist!

Zitat:

Original von Arthur Dent
...
Wenn man den Sinus einer Gradzahl meint, dann ist das nicht die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ , sondern

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin\left(x^{\circ}\right) = \sin\left(x \cdot 1^{\circ}\right) \end{eqnarray*}$ .
...

Man meint eben a priori nicht den Sinus einer Gradzahl! Du schreibst dann ja selbst, dass es nicht die Funktion f(x) = sin(x) sein soll und definierst in der zweiten Zeile eine neue Funktion (mit der Konstanten 1°). Tut mir leid, aber so kann ich dir nicht folgen.

mY+

03.04.2007, 23:31

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Nochmal ganz deutlich: Ich rede in meinem letzten Beitrag nicht von $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ , sondern von

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin\left(x \cdot 1^{\circ}\right) \end{eqnarray*}$ .

Das ist die Funktion, die zur Anwendung kommt, wenn man auf dem Taschenrechner im Modus DEG die SIN-Taste drückt - nicht mehr und nicht weniger will ich damit sagen, und von dieser Funktion die Ableitung.

Ich hüte mich ausdrücklich vor einer Neu- oder gar Andersdefinition der Sinusfunktion, das fehlte gerade noch! smile

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