Polarkoordinaten => Kartesische Koordinaten

10.11.2004, 21:16

Lavingst@r

Polarkoordinaten => Kartesische Koordinaten

Hi, wie rechnet man um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten? Habe hier 2 Aufgaben und ich weiss nicht wie ich sie angehen soll ...
Die Hinweise die ich finde zu den Unterschieden bringen mich nicht weiter und zeigen mir nicht wie der Lösungsweg geht ...

Rechnen Sie um:
1.) (a) (5, 3) in Polarkoordinaten (b) (2, 30°) im kartesische Koordinaten

2.) Bestimmen Sie explizite Darstellung der Ellipse mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{x²}{4} + \frac{y²}{9} = 1 \end{eqnarray*}$ in Polarkoordinaten.

10.11.2004, 22:22

Leopold

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1. a)
Zeichne den Punkt $\begin{eqnarray*} P(5,3) \end{eqnarray*}$ ins Koordinatensystem ein, bestimme seinen Abstand $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ vom Ursprung $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ (Pythagoras) und den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , den der Strahl von $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit der positiven x-Achse einschließt (z.B. mit dem Tangens). $\begin{eqnarray*} r,\varphi \end{eqnarray*}$ sind die gesuchten Polarkoordinaten.

1. b)
Umgekehrt zu a). Zeichne im Abstand $\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$ vom Ursprung den Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ so ein, daß der Strahl von $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit der positiven x-Achse einen Winkel von 30° einschließt ( $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ liegt im I. Quadranten, da 30° positiv ist). Jetzt kannst du via Sinus/Cosinus die kartesischen Koordinaten von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ berechnen.

10.11.2004, 22:23

hummma

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Zeichne dir den Punkt in dein Koordinatensystem ein und dann mit Trigonometrie und Pythagoras. Ich hier mal ne Skizze wie ich des mein. Die ist allerdings fuer den 2. Quadranten. Beim 1. geht ist es noch ein bischen einfacher.

10.11.2004, 22:35

Lavingst@r

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} r,\varphi \end{eqnarray*}$ sind die gesuchten Polarkoordinaten.

Muss ich $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ erst noch dann berechnen, oder kann ich ihn einfach ablesen/ausmessen?

10.11.2004, 22:42

hummma

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Ablesen wirst dus wohl nicht duerfen. Fuer die Berechnung ist mein Skizze gedacht.

10.11.2004, 22:43

Leopold

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Das kommt darauf an, was in der Aufgabenstellung verlangt wird. Solange nichts anderes gesagt wird, denke ich, geht es ums Ausrechnen. Im übrigen ist es gut, wenn du das Ausrechnen übst. Die Richtigkeit deines Ergebnisses kannst du ja jederzeit an der Zeichnung im Rahmen der Zeichengenauigkeit nachmessen.

10.11.2004, 22:50

Lavingst@r

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Aha....hab ich mir doch schon gedacht das ich den Winkel ausrechnen muss ... => Wie mach ich das? (Is vielleicht ne blöde Frage, aber ich hab GAR KEINEN Anhaltspunkt, Trigonometrie is für mich komplett neu!).

Im übrigen hab ich für 1b) ne Zeichnung angefertigt, so weit wie ich jetzt bin ... wie kann ich daraus was berechnen?

10.11.2004, 22:55

Leopold

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Ohne Trigonometrie ist diese Aufgabe nicht lösbar.

10.11.2004, 23:00

Lavingst@r

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Das ist mir schon klar...
darum muss (und will) ich anhand dieser Aufgaben ja auch die Trigonometrie lernen ... smile

Wie kann ich z.b. einen Winkel berechnen nur anhand der vorhandenen Seiten?

10.11.2004, 23:16

Dragontas

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sin(alpha) = Gegenkathede/Hypothenuse
cos(alpha) = Ankathede/Hypothenuse
tan(alpha) = Gegenkathede/Ankathede

Die Ankathede liegt beim Dreieck am Winkel, die Gegenkathede nicht.
Die Hypothenuse liegt nicht am rechten winkel

10.11.2004, 23:25

Lavingst@r

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Danke Dragon für deine Antwort, aber ich wollte wissen wie ich es in Grad ausrechnen kann?

Und woher weiss ich überhaupt wie lang die Seiten sind in meiner obigen Aufgabe 1b) wenn ich nix zeichne?

10.11.2004, 23:35

Dragontas

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also zu winkel ausrechnen, du nimmst praktisch einfach, tan(alpha) = y/x, bzw mit dem taschenrechner tan^-1(y/x)= alpha -> dein gesuchter winkel, für 1b) sin(alpha) * länge(also 2) ergibt den y Wert, cos(alpha) * 2 ergibt den x wert

(5,3) 5 ist die x länge, 3 die y lange

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion!! (MSS)

10.11.2004, 23:43

Lavingst@r

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Aaahhh...das sieht doch schonmal gut aus !
Vielen Dank Dragon smile

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