Reihe mit Fakultäten

03.04.2007, 21:06

Ruprecht

Reihe mit Fakultäten

Kann mir jemand beim Beweis folgender Identität helfen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac{36+2\sqrt{3}\pi}{27} \end{eqnarray*}$

03.04.2007, 22:04

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \frac{\left(n!\right)^2}{(2n)!}=\frac{n\cdot \Gamma(n)\Gamma(n+1)}{\Gamma(2n+1)} \end{eqnarray*}$
Danach denVerdopplungssatz von Legendre anwenden, damit kommste weiter.
Und nur nicht den Mut verlieren, das ist eine harte Nuss, aber zu knacken.

03.04.2007, 22:05

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Ich hab die dunkle Erinnerung, dass es hier dazu auch schon einen Thread gab .. du müsstest dich erinnern, Lazarus. verwirrt

03.04.2007, 22:06

Lazarus

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Ja ich errinnere mich und ich such auch schon die ganze Zeit verwirrt

03.04.2007, 22:08

Lazarus

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Hat ihn schon, aber vorsicht: da steht die Lösung drinn!

03.04.2007, 22:53

Ruprecht

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Ich ziehe den Hut.
Auf diese Lösung wäre ich so ad hoc nicht gekommen...
Freude

Ich hatte bisher nur versucht mich über folgende Reihenentwicklungen

$\begin{eqnarray*} \arcsin(x)=2\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^2\cdot(2n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+1} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \arcsin^2(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{[(n-1)!]^2}{(2n)!}\left(2x\right)^{2n} \end{eqnarray*}$

der Sache zu nähern.

Ich bin mir nicht sicher ob der "Trick" mit der Betafunktion auch beim Beweis dieser Identität zieht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{[(2n)!]^2}{(4n)!}=\frac{16}{15}+\frac{\sqrt{3}\pi}{27}+\frac{2}{5\sqrt{5}}\ln\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \end{eqnarray*}$

04.04.2007, 14:25

Sumo

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Zitat:

Original von Ruprecht

Ich bin mir nicht sicher ob der "Trick" mit der Betafunktion auch beim Beweis dieser Identität zieht:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{[(2n)!]^2}{(4n)!}=\frac{16}{15}+\frac{\sqrt{3}\pi}{27}+\frac{2}{5\sqrt{5}}\ln\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Er zieht immerhin bis hier:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{[(2n)!]^2}{(4n)!}=\int_0^1\frac{2t(t-t^2)}{\left(1-\left(t-t^2\right)^2\right)^2}dt \end{eqnarray*}$

Bei diesem Integral muss ich dann leider meine Waffen strecken...

04.04.2007, 14:45

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Zitat:

Original von Sumo
Bei diesem Integral muss ich dann leider meine Waffen strecken...

Ist doch "nur" das Integral über eine gebrochen rationale Funktion. Augenzwinkern

Allerdings ist der Nennergrad 8, immerhin gut faktorisierbar. Aber sowas überlässt man dann doch lieber den CAS, die können das ganz gut.

04.04.2007, 14:59

Sumo

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@A.D.: Den CAS? Wer sind denn die? Ist das irgendein Akronym oder was?

04.04.2007, 15:01

therisen

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Computeralgebrasystem

04.04.2007, 15:01

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CAS = Computer Algebra System

Also Mathematica, Maple, MuPAD und wie sie alle heißen...

05.04.2007, 14:30

Ruprecht

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Nochmal zum Thema 'Summe inverser Binomialkoeffizienten':
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \arcsin^2(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{[(n-1)!]^2}{(2n)!}\left(2x\right)^{2n} \end{eqnarray*}$

Zweimaliges Ableiten liefert

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1-x^2}+\frac{2x\arcsin(x)}{\sqrt{(1-x^2)^3}}=2\sum_{n=0}^\infty\frac{(n!)^2}{(2n)!}(2x)^{2n} \end{eqnarray*}$

Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ liefert dann die Behauptung.

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