Vollständige Induktion

03.04.2007, 23:32

telefonmann

Vollständige Induktion

Hallo,

über Vollständige Induktion soll gezeigt werden, dass
für alle x element aus R ohne 1
und für alle n element N
gelte
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~kx^{n-1}= \frac{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Dabei kann doch aber x=0 gelten und falls dann n=1 gilt wäre ja $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ gegeben, oder?

Wer kann mir helfen?

Viele grüße

telefonmann

03.04.2007, 23:38

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Und was ist $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

03.04.2007, 23:40

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~kx^{0}= x^0 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-(2)x^{1}+x^{2}}{(1-x)^2} = \frac{(1-x)^2}{(1-x)^2}=1 \end{eqnarray*}$

03.04.2007, 23:43

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

Fixiere x und induziere nach n.

Gruß, therisen

04.04.2007, 09:29

Sumo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von telefonmann

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~kx^{n-1}= \frac{1-(n+1)x^{n}+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Du meinst doch sicher $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~kx^{k-1} \end{eqnarray*}$ , oder?

04.04.2007, 14:08

Auf diesen Beitrag antworten »

@Sumo

Sicher ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~kx^{k-1} \end{eqnarray*}$ gemeint. Denn in der anderen Bedeutung kommt ja folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~kx^{n-1}= \frac{n(n+1)}{2} x^{n-1} \end{eqnarray*}$

04.04.2007, 14:20

Sumo

Auf diesen Beitrag antworten »

@A.D.: Das war auch eher eine rhetorische Frage.

04.04.2007, 17:04

telefonmann

Auf diesen Beitrag antworten »

@sumo (und alle anderen):

Ja, meine ich. Latex hat so meine Aufmerksamkeit gefordert...

Kann man x einfach so vernachlässigen? So tun, als ob x nur x wäre?
Und ist $\begin{eqnarray*} kx^0 \end{eqnarray*}$ =1 oder, falls x=0 nicht definiert? Ich dachte letzteres.

Vielen Dank erst mal.

04.04.2007, 21:35

Sumo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von telefonmann
@sumo (und alle anderen):

Ja, meine ich. Latex hat so meine Aufmerksamkeit gefordert...

Kann man x einfach so vernachlässigen? So tun, als ob x nur x wäre?
Und ist $\begin{eqnarray*} kx^0 \end{eqnarray*}$ =1 oder, falls x=0 nicht definiert? Ich dachte letzteres.

Vielen Dank erst mal.

Also ich tu mich etwas schwer damit, Dein Problem nachzuvollziehen.
Vielleicht solltest Du zunächst einfach mal nur eine Frage auf einmal stellen und diese dann präzise formulieren.

Auf der linken Seite Deiner zu beweisenden Gleichung steht mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^nkx^{k-1} \end{eqnarray*}$ ein schlichtes Polynom welches für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ eine auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definierte Funktion darstellt.

Auf der rechten Seite der Gleichung steht eine gebrochen rationale Funktion, die offensichtlich auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ definiert ist. An der Stelle 1 lässt sie sich stetig fortsetzen.
Das ist hier aber vollkommen belanglos, denn Deine Aufgabe lautet ja lediglich zu zeigen, dass die Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ gilt.
Wo ist also das Problem?

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion

Verwandte Themen