Linearfaktorzerlegung von komplexen Polynomen

04.04.2007, 14:26

Kulli

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Linearfaktorzerlegung von komplexen Polynomen

Hi Leute!
Ich hoffe jemand kann mir bei meinen Hausaufgaben helfen. Meine Aufgabe ist das Polynom $\begin{eqnarray*} f(z)=z^2-3z+2iz+5-i \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren zu zerlegen. Wie das bei $\begin{eqnarray*} z^4=1 \end{eqnarray*}$ mittels Polarkoordianten funktioniert, weiß ich. Aber wie wende ich das auf eine quadratische Gleichung an? Es sind auch andere Lösungswege zugelassen, also nehme ich alternative Vorschläge zur Lösung auch gerne an.

Vielen Dank im Voraus

04.04.2007, 14:38

WebFritzi

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Finde die Nullstellen des Polynoms heraus.

04.04.2007, 14:39

Kulli

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Auf die Idee bin ich auch schon gekommen. Die Frage ist nur wie. Die reelle p,q- Formel hat mir nicht weitergeholfen.

04.04.2007, 14:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von Kulli
Die reelle p,q- Formel hat mir nicht weitergeholfen.

Sollte sie aber.

04.04.2007, 15:16

Kulli

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$\begin{eqnarray*} f(z)=z^2-3z+2iz+5-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=z^2-3z+2iz+5-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=z^2+z(-3+2i)+5-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z1,z2=-\frac{-3+2i}{2}\pm \sqrt{\frac{({-3+2i})^2} {4}-5+i} \end{eqnarray*}$

Ist mein Ansatz schon mal richtig?

04.04.2007, 15:18

Divergenz

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Genau!

Freude

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04.04.2007, 15:19

brain man

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Zitat:

Original von Kulli
$\begin{eqnarray*} f(z)=z^2-3z+2iz+5-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=z^2-3z+2iz+5-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=z^2+z(-3+2i)+5-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z1,z2=-\frac{-3+2i}{2}\pm \sqrt{\frac{({-3+2i})^2} {4}-5+i} \end{eqnarray*}$

Ist mein Ansatz schon mal richtig?

Ja!

Edit : Zu spät...

04.04.2007, 15:33

Kulli

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$\begin{eqnarray*} z1,z2=\frac{3-2i}{2} \pm \sqrt{\frac{4i^2-12i+9}{4}-5+i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1,z2=\frac{3-2i}{2} \pm \sqrt{\frac{4i^2-12i+9-20+4i}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1,z2=\frac{3-2i}{2} \pm \sqrt{\frac{-8i-15}{4}} \end{eqnarray*}$

Und da komme ich nicht weiter.

04.04.2007, 15:38

Divergenz

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Bestimme die komplexe Zahl (bzw. die beiden) $\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} z^2=-15/4-2i \end{eqnarray*}$ gilt!

04.04.2007, 15:45

WebFritzi

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Dabei helfen Polarkoordinaten.

04.04.2007, 15:49

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Oder wer's mit (reellen) Wurzeln lieber mag:

algebraische Darstellung der komplexen Quadratwurzel

04.04.2007, 15:50

Kulli

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Ich versteh nicht ganz wie du auf $\begin{eqnarray*} z^2=-15/4-2i \end{eqnarray*}$ kommst. Kannst du mir das nochmal genauer erklären?

04.04.2007, 15:54

brain man

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{-8i-15}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{15}{4}-2i \end{eqnarray*}$

05.04.2007, 17:59

Kulli

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Erstmal vielen Dank an alle. Eure Tipps haben mir echt weitergeholfen. Jetzt habe ich eine Lösung rausbekommen. Wenn ich die Linearfaktoren jedoch wieder zuammenmultipliziere, stimmt die Gleichung nicht mit der vorgegebenen überein. Hab schon hundertmal alles wieder durchgerechnet, finde aber keinen Fehler. Vielleicht könnt ihr mir nochmal weiterhelfen.

$\begin{eqnarray*} Re w=\frac{-15}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Imw=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=arctan(-2)/(\frac{-15}{4})=28,07° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2=-15/4-2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2=\sqrt{(\frac{-15}{4})^2+(-2)^2}*e^{(i*28,07°)}=\frac{17}{4} *e^{i*28,07°} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{\frac{17}{4}}*e^{ \frac{i}{2}*(28,07°+k*360°)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z0=\sqrt{\frac{17}{4}}*e^{i*14,035°}=\sqrt{\frac{17}{4}}(cos 14,035°+i*sin 14,035°)=2+\frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z1=\sqrt{\frac{17}{4}}*e^{i*194,035°}=\sqrt{\frac{17}{4}}(cos 194,035°+i*sin 194,035°)=-2-\frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$

05.04.2007, 18:09

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Der Fehler liegt bereits hier:

Zitat:

Original von Kulli
$\begin{eqnarray*} r=arctan(-2)/(\frac{-15}{4})=28,07° \end{eqnarray*}$

Du benutzt eine Argumentformel, die nur für den ersten und vierten Quadranten passt, im vorliegenden Fall (dritter Quadrant) jedoch versagt - zeichne ruhig mal $\begin{eqnarray*} -\frac{15}{4}-2i \end{eqnarray*}$ in die Gaußschen Zahlenebene ein, dann siehst du, dass 28 Grad falsch sind.

Nimm die richtige Formel, dann klappt es mit dem Weg.

05.04.2007, 18:19

Kulli

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Ja, klar doch. Ich muss ja 180° dazu addieren. Jetzt stimmt meine Rechung auch. Vielen Dank.

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