Aufgabe zur Gleichverteilung

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04.04.2007, 19:25	schlomo76	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zur Gleichverteilung Geg. 2 Würfel mit 1,2,3 beschriftet auf den gegenüberliegenden Seitenflächen $\begin{eqnarray} X \mbox{und} Y \end{eqnarray}$ sind die Augenzahlen der gleichzeitig geworfenen Würfel a) Wahrscheinlichkeitstabelle eines zweidimensionalen Zufälligkeitsvektors $\begin{eqnarray} (X,X+Y) \end{eqnarray}$ + Randverteilung b)Kovarianz und Korrelationskoeffizient zwischen $\begin{eqnarray} X \mbox{und} X+Y \end{eqnarray}$ c)Wie kann man ausgehend von einer Realisierung u einer auf einem Interval[0,1] gleichverteilten Zufallszahl diese zweidimensionale Verteilung simulieren? ---- Ich komm hier schon mit der Tabelle nicht klar. Die Korrelation und so würd ich ja wieder hinkriegen.
04.04.2007, 20:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigene Ideen? Ich steuere erst mal einen Tipp zu a) bei: $\begin{eqnarray} P(X=j,X+Y=k) = P(X=j,Y=k-j) = P(X=j)\cdot P(Y=k-j) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k,j \end{eqnarray}$ Richtig gelesen ist das bereits die zweidimensionale Verteilung.
09.04.2007, 23:15	schlomo76	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich war mehr wegen des Aufbaus der Tabelle verwirrt als des vektors. X\X+Y \|.2.....\|...3...\|...4...\|...5...\|....6....\| 1............\|........\| 2............\|........\| 3............\|........\| ..............\|........\|.......................................\|...1... Sieht sie ungefähr so aus?
10.04.2007, 09:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, Spalten- und Zeilenköpfe stimmen, d.h., du hast den in Frage kommenden Wertebereich der beiden Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X+Y \end{eqnarray}$ richtig erfasst. Aber irgendwie sieht die Tabelle noch ziemlich leer aus - da sollten schon noch ein paar Wahrscheinlichkeiten eingetragen werden...
10.04.2007, 11:12	schlomo76	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar, aber ich wollte auch nicht zu sehr ins Blaue arbeiten. X\X+Y \|...2...\|...3...\|...4...\|...5...\|...6...\| 1.........\|.1/9..\|..1/9.\|.1/9..\|...0..\|...0...\|..1/3 2.........\|...0...\|.1/9..\|.1/9..\|.1/9..\|...0..\|..1/3 3.........\|...0...\|...0...\|.1/9..\|.1/9..\|..1/9.\|..1/3 ...........\|..1/9.\|..2/9.\|..1/3.\|.2/9..\|.1/9.\|...1...
10.04.2007, 11:43	schlomo76	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun zu b) $\begin{eqnarray} cov(X,X+Y)=E(X\cdot (X+Y)) - EX \cdot E(X+Y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r(X,X+Y)=\frac{cov(X,X+Y)}{\sqrt{var(X)var(X+Y)}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} EX=1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}= 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X+Y)=2 \cdot \frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{2}{9} + 4 \cdot \frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{2}{9} + 6 \cdot \frac{1}{9} = \frac{36}{9}=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X\cdot (X+Y))=2/9+3/9+4/9+0+0+0+6/9+8/9+\\ 10/9+0+0+0+12/9+15/9+18/9=78/9=26/3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cov(X,X+Y)=26/3-4 \cdot 2=\underline{2/3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} var(X)=(1-2)^2\cdot \frac{1}{3}+(2-2)^2\cdot \frac{1}{3}+(3-2)^2\cdot \frac{1}{3}=2/3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} var(X+Y)=(2-4)^2\cdot \frac{1}{9}+(3-4)^2\cdot \frac{2}{9}+(4-4)^2\cdot \frac{1}{3}+(5-4)^2\cdot \frac{2}{9}+(6-4)^2\cdot \frac{1}{9}=4/3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r(X,X+Y)=\frac{\frac{2}{³}}{\sqrt{\frac{2}{3}\frac{4}{3}}}=\frac{2}{\sqrt{8}} \end{eqnarray}$
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10.04.2007, 12:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Alternativ kann man die (Bi-)Linearität der Kovarianz, im Zusammenhang mit der Unabhängigkeit (und damit Unkorelliertheit) von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ nutzen. Vorberechnet wird wie bei dir $\begin{eqnarray} E(X) = E(Y) = 2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(X) = \operatorname{var}(Y) = \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ , dann gelangt man zu $\begin{eqnarray} \operatorname{cov}(X,X+Y) = \operatorname{cov}(X,X) + \operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{var}(X) + 0 = \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \operatorname{var}(X+Y) = \operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y) = \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ Ergibt dann auch die von dir ermittelten $\begin{eqnarray} r(X,X+Y) = \frac{\operatorname{cov}(X,X+Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X) \cdot \operatorname{var}(X+Y)}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ , aber mit etwas weniger Aufwand.
10.04.2007, 12:26	schlomo76	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke Dir für diese schönere 2. Möglichkeit. Jetzt bin ich bei c) mit dem Wort simulieren etwas überfragt, was verbirgt sich dahinter bzw. wie geht man da vor?
10.04.2007, 13:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Simulationsbezogen betrachtet ist eine diskrete Verteilung eine diskrete Verteilung - egal, ob ein- oder mehrdimensional. Du musst nur die Wkten richtig aufteilen, z.B. $\begin{eqnarray} \left[0,\frac{1}{9}\right)\ni u \to (1,2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[\frac{1}{9},\frac{2}{9}\right)\ni u \to (1,3) \end{eqnarray}$ ... ... ... $\begin{eqnarray} \left[\frac{8}{9},1\right)\ni u \to (3,6) \end{eqnarray}$ o.ä. Geht natürlich auch anders, hauptsache jedes der Tabellenpaare bekommt ein Neuntel Wkt.
10.04.2007, 15:12	schlomo76	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Lösung, doch wüßte ich vorher gern, was den Simulation eigentlich meint, was passiert das?
11.04.2007, 17:40	Enigmation	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, du willst eine Verteilung (mit Wahrscheinlichkeitsverteilung in einer Tabelle) in einem Intervall [0,1] unterteilen, also mußt du die Einzelwahrscheinlichkeiten mit der verhältnismäßig gleichen Größe in dem Intervall eintragen. Nichts weiter besagt die Simulation. Du versuchst das nur für den Rechner einfacher zu simulieren, indem du es in diese Intervallsimulation abstrahierst.

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