Beweis von Grenzwertregeln

10.11.2004, 22:18	Manfred	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Grenzwertregeln Hi Leute! Ich muß fürs Pro-Seminar wieder mal ein paar so "Zeigen Sie..."-Beispiele rechnen, diesmal mit Grenzwert-Bestimmung.Eines davon ist das folgende: Sei a > 0, an --> a, bn --> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ für n --> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: (a) an + bn --> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ (b) anbn --> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ (c) -bn --> - $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ für n --> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray*}$ Hat irgendjemand eine Idee, wie man das BEWEISEN kann?Weil logisch erscheint es ja sowieso. Ich hab da mal mit der Dreiecksungleichung begonnen, das hat mich aber nicht wirklich weitergebracht. Wäre für alle Vorschläge sehr dankbar. Danke und Grüße Manfred
10.11.2004, 22:38	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Grenzwertregeln Das wichtigste hierbei ist, dass du weißt, was das bedeutet, dass $\begin{eqnarray} a_n\to a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n\to \infty \end{eqnarray}$ ! Zu (a): Zeige, dass ab einem bestimmten n0 e N an nach unten beschränkt ist, es also eine Zahl d gibt, sodass an>d für alle n>n0. Das geht ganz einfach über die Grenzwertdefinition. Du kannst z.B. für d=a/2 zeigen, dass es ein n0 gibt, sodass $\begin{eqnarray} a_n>\frac{a}{2}\ \ \forall\ n>n_0 \end{eqnarray}$ Für (b) kannst du das auch verwenden! (c) folgt direkt aus $\begin{eqnarray} b_n\to +\infty \end{eqnarray}$ , indem du einfach mal da an der Ungleichungn n bißchen rumbastelst (einfach nur mit -1 multiplizieren!).
11.11.2004, 11:45	Manfred	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Grenzwertregeln Zuerst einmal danke für die Antwort! Aber klar ist mir das nocht nicht.Denn wenn an -->a konvergiert, ist an ja nach oben beschränkt.Und außerdem soll ich ja nicht zeigen, daß an nach oben beschränkt ist, was ja Voraussetzung ist, wenn es gegen a strebt, sondern, daß die Summe aus an (das gegen a strebt) und bn(das gegen unendlich strebt) ebenfalls gegen unendlich strebt.Wie stell ich das an? Gruß Manfred
11.11.2004, 14:36	Manfred	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Grenzwertregeln Tschuldigung, ich meinte natürlich nach unten beschränkt, nicht nach oben....
11.11.2004, 22:23	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal ist "an nach unten beschränkt" keine Voraussetzung!! Die Voraussetzung ist, dass an konvergiert, daraus folgt, dass an nach unten beschränkt ist! Und dann musst du halt die Tatsache, dass an beschränkt ist, verwenden, denn dann ist ab einem bestimmten n: $\begin{eqnarray} a_n+b_n>\frac{a}{2}+b_n \end{eqnarray}$ Jetzt noch benutzen, dass bn gegen unendlich geht und schon sogut wie fertig!
12.11.2004, 13:01	Manfred	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, I see! Herzlichen Dank für die Hilfe!
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