Gleichung mit Reihe und Produkt

04.04.2007, 22:08

Ruprecht

Gleichung mit Reihe und Produkt

Sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R, |x|<1 \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{-\infty}^\infty(-1)^nx^{\frac{3n^2-n}{2}}=\prod_{n=1}^\infty(1-x^n) \end{eqnarray*}$ .

Wer kann mir beim Beweis dieser Aussage helfen?

04.06.2007, 16:07

Ruprecht

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung mit Reihe und Produkt
Ich erwecke diesen Thread nochmal zum Leben mit dem Hinweis darauf, daß zum Beweis wohl folgende Gleichung nützlich sein kann:

$\begin{eqnarray*} |x|<1,~y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}(y^n+y^{-n})=\prod_{n=0}^\infty(1+x^{2n+1}y)(1+x^{2n+1}y^{-1})(1-x^{2n+2}) \end{eqnarray*}$

Einsetzen eines geeigneten $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ soll die Behauptung liefern... verwirrt

P.S.: Der Beweis dieser Gleichung hier ist natürlich ein weiteres Thema. Mir wäre aber zunächst schon mal damit geholfen, mit dieser Gleichung die Behauptung zu beweisen.

EDIT: Exponent korrigiert (siehe unten)

04.06.2007, 16:17

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe zwar bis jetzt in keinster Weise, wie man den Beweis hinkriegt, aber wenn ich mal so das Produkt rechts (sowohl im Originalposting als auch jetzt in der anderen Aussage) gedanklich ausmultipliziere, dann läuft das hinsichtlich des Koeffizientenvergleichs mit der linken Seite auf eine Art kombinatorisches Problem (Partition von natürlichen Zahlen o.ä.) hinaus ... oder? verwirrt

War jetzt nur so ein Gedanke...

EDIT:

Zitat:

Original von Ruprecht
$\begin{eqnarray*} 1+\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}(y^n+y^{-n})=\prod_{n=0}^\infty(1+x^{2n+1}y)(1+x^{2n+1}y^{-1})(1-x^{2n}) \end{eqnarray*}$

Beim Produktindex rechts hast du dich aber verschrieben, oder? Wenn der wirklich bei n=0 beginnt, dann steht rechts ingesamt nur Null... Vermutlich heißt das also

$\begin{eqnarray*} 1+\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}(y^n+y^{-n})=\prod_{n=1}^\infty(1+x^{2n+1}y)(1+x^{2n+1}y^{-1})(1-x^{2n}) \end{eqnarray*}$

04.06.2007, 21:23

Ruprecht

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent

Beim Produktindex rechts hast du dich aber verschrieben, oder? Wenn der wirklich bei n=0 beginnt, dann steht rechts ingesamt nur Null... Vermutlich heißt das also

$\begin{eqnarray*} 1+\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}(y^n+y^{-n})=\prod_{n=1}^\infty(1+x^{2n+1}y)(1+x^{2n+1}y^{-1})(1-x^{2n}) \end{eqnarray*}$

Ich hatte mich tatsächlich verschrieben. Allerdings nicht beim Produktindex sondern beim Exponenten des kritischen Faktors.
Korrekt lautet die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1+\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}(y^n+y^{-n})=\prod_{n=0}^\infty(1+x^{2n+1}y)(1+x^{2n+1}y^{-1})(1-x^{2n+2}) \end{eqnarray*}$

P.S.: Hab's oben editiert

Neue Frage »

Antworten »

Gleichung mit Reihe und Produkt

Verwandte Themen