Lagrangesches Multiplikatorverfahren

04.04.2007, 22:12

Shez

Lagrangesches Multiplikatorverfahren

Hallo Ihr Lieben,

ich hoffe, ich find hier etwas Hilfestellung zu meiner verzwickten Aufgabe, oder ich seh den Wald vor lauter Bäumen nich *g*

Nun ja, es geht wie oben erwähnt um Lagrange, Extremwertberechnung mit Nebenbedingungen.
Hab hier ne Aufgabe liegen, wo mir irgendwie was fehlt.

Sie lautet:

Zitat:

Einer Ellipse mit den Halbachsen a und b ist ein achsenparalleles Rechteck größter Fläche einzuschreiben. Wie müssen die Seitenlängen des Rechtecks gewählt werden?

Es gibt eine Skizze, wo eben besagtes RE in die Ellipse eingezeichnet ist.
Gegeben ist auch ein Punkt P(x;y), welcher auf dem Rand der Ellipse liegt und gleichzeitig den Eckpunkt des RE's darstellt. Der Mittelpunkt des RE liegt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems und ist gleichzeitig der Mittelpunkt der Ellipse.
Die Halbachsen sind mit a/-a und b/-b bezeichnet.

P bildet mit (0;0), (x;0) und (0;y) ebenfalls ein Rechteck, was genau ein Viertel des gesuchten Rechtecks ausmacht. Also $\begin{eqnarray*} 2*(2x+2y)=U \end{eqnarray*}$

(Hätte es gern aufgezeichnet, aber wusste nich, wie ich das machen kann).

Meine Überlegungen gehen bisher soweit, dass ich ja eine Hauptfunktion f(x;y) brauche, welche mit einer Funktion phi (x;y) verknüpft ist.
Nachdem es um die größtmögliche Fläche geht, war meine Überlegung, dass die Fläche A=4xy ist, weil ja die Seitenlängen einmal 2x und 2y sind.
Das wird wohl die Hauptfunktion sein.
Aber welche Nebenbedingung muss ich nun einbauen?
Ich habe mit dem Umfang als Fläche gerechnet - Ableitungen etc - als Ergebnis erhalte ich dann
$\begin{eqnarray*} x = y = \frac{1}{8} * U \end{eqnarray*}$

Könnt Ihr mich in die richtige Richtung leiten?
Wäre superlieb.

Wünsche einen angenehmen Abend smile

04.04.2007, 23:55

cst

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RE: Lagrangesches Multiplikatorverfahren
Willkommen

on Board!

Das mit der Hauptbedingung $\begin{eqnarray*} f(x,y) = 4xy \end{eqnarray*}$ und dem viertel Rechteck geht in Ordnung.

Zitat:

Original von Shez
...Ich habe mit dem Umfang als Fläche gerechnet ...

Das geht nicht - Umfang ist Umfang (eine Länge) und Fläche ist Fläche. Der Umfang des Rechtecks hat mit dieser Sache hier nix zu tun.

Der von Bäumen verdeckte Wald besteht darin, dass P(x;y) auf der Ellipse liegt (Ellipsengleichung: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$ ).

Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} \varphi(x,y) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} \varphi(x,y) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} -1 =0 \end{eqnarray*}$

05.04.2007, 10:01

Shez

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Vielen lieben Dank für die erste Info.
Das mit der Elipsengleichung war mir nicht so ganz klar.
D.h. ich muss nun mit vier Variablen rechnen?
Oy, hätte ich dem Dozenten nich zugetraut *g*
Aber ich versuche das nun mal über die Osterfeiertage einmal damit und melde mich wieder.
Lieben Dank erstmal smile

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