rechteck im dreieck

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05.04.2007, 10:58	joehanes	Auf diesen Beitrag antworten »
rechteck im dreieck ich stehe gerade total auf dem schlauch: Es geht um Parabeln. Eine Übungsaufgabe ist wie folgt: In einem dreieck mit Grundfläche=10 und h=4 soll ein rechteck gelegt werden mit dem maximal möglichen Flächeninhalt. Wenn mir jemand den Weg runter vom Schlauch zeigen könnte, wäre ich dankbar!
05.04.2007, 13:37	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: rechteck im dreieck Hallo, wichtig für das Verständnis wäre schon mal, ob du nun mit 10 die Fläche oder die Grundseite zur Höhe meinst. Für deinen Weg vom Schlauch: Wähle eine Rechtecksseite auf der Grundseite des Dreiecks, die andere parallel zur Höhe, wobei 2 Ecken natürlich auf den anderen Dreiecksseiten liegen (um das Rechteck möglichst groß zu machen). Die Längen erhälst du, indem du eine Seite vorgibst (x) und die andere dann über den Strahlensatz. So kannst du den Rechecksflächeninhalt als Funktion von x schreiben und diesen maximieren!
05.04.2007, 13:39	joehanes	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine die Grundseite... Sorry. Warum ich bei diesem Weg stutzig bin, ist weil die Aufgabe neunte Klasse ist und im Buch an einer Stelle steht, kurz nach dem Parabeln eingeführt wurden. Wie würdest du das mit dem maximieren machen, weil über Ableitung geht das in der Klassenstufe noch nicht? (Sorry wenn das ne blöde Frage ist...) Als Hilfe ist eine Zeichnung angegeben, in der das Dreieck über ein Koordinatensystem aufgespannt ist mit der Höhe des Dreiecks auf der y-Achse. In der Aufgabe wird als Hilfe angegeben: "Finde die Gleichung, die eine Dreiecksseite hätte, wenn sie eine Gerade wäre." (In diesem Fall wäre das dann y=1,25x) Ich krieg das irgendwie mit Parabel-rechnen nicht zusammen... Vielen Dank für die Hilfe!
05.04.2007, 13:44	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. Sonst jetzt alles klar?
05.04.2007, 13:48	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei noch anzumerken ist, dass es sich hier um ein spitzwinkliges Dreieck handeln sollte - oder zumindest eines, wo die beiden an der Grundseite anliegenden Winkel keine stumpfen Winkel sind. Ansonsten klappen nämlich die hier getätigten Betrachtungen nicht wie gewünscht.
05.04.2007, 13:54	joehanes	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe edit im obigen post.
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05.04.2007, 14:32	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, natürlich hat Arthur recht, meine Beschreibung funktioniert nur, wenn die an die Grundseite angrenzenden Winkel nicht stumpf sind. Nun mit Hilfe von Parabelwissen geht das schon! Wenn man die Gleichung für den Flächeninhalt bestimmt, erhält man eine nach unten geöffnete Parabel. Wo diese ihr Maximum hat, das weiß man auch in der 9ten!
05.04.2007, 15:57	joehanes	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Meine Lösungsidee: Grundseite des rechtecks ist a=2x (da strecke von 0 im Koordinatensystem 2 mal genommen werde muss). Höhe ist b=-1,25x+4 (entspricht der Geradengleichung der einen Dreiecksseite) Also: a=2x b=-1,25x+4 Fläche 2x*(-1,25x+4) =-3x^2+8x Nullstellen: -3x^2+8x=0 --> /-3 x^2-(8/3)x +16/9-16/9=0 (x-4/3)^2-16/9=0 --> +16/9, dann wurzeln x-4/3=4/3 x=8/3 Parabel hat Scheitelpunkt und somit maximum bei x=4/3. Deswegen nehme ich dieses als Grundlage für a und b. a=8/3 b=128/9 Stimmt das soweit?
05.04.2007, 16:23	joehanes	Auf diesen Beitrag antworten »
merke gerade, dass das nicht sein kann, da Grundseite ja nur 10 lang ist und die Höhe max 4 sein könnte. Rechne nochmal nach und poste dann nochmal...
05.04.2007, 23:00	joehanes	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt aber: a=2x b=-0,8x+4 y=2x(-0,8x+4) y=-1,6x^2+8x =-1,6(x^2+5x) =-1,6(x^2+5x+6,25-6,25) =-1,6(x-2,5)+10 Parabel S(2,5/10) Flächenfkt ist bei x=2,5 maximal. --> a=5 b=2 Das müsste jetzt stimmen, oder?

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