"Rand" einer J-Meßbaren Menge

05.04.2007, 12:48	Juri	Auf diesen Beitrag antworten »
"Rand" einer J-Meßbaren Menge Hallo, ich habe ein Problem bei folgendem Beispiel zu "dicken Rändern" beim Jordan-Maß: Der Bereich $\begin{eqnarray} B:= ([0,1] \cap \mathbb{Q})^2 \end{eqnarray}$ besitzt den Rand $\begin{eqnarray} \partial B = [0,1]^2 \end{eqnarray}$ . Mein Problem liegt wohl darin, dass wir den "Rand" nicht richtig definiert haben. Kann mir jemand an obigem Beispiel erklären, wie ich mir das vorzustellen habe? Ich weiß, dass für das Jordan-Maß des Randes gilt: $\begin{eqnarray} \overline{\mu}(\partial B) = \overline{\mu}(B) - \underline{\mu}(B) \end{eqnarray}$ (also äußeres Maß - inneres Maß). Wenn ich B von außen durch Quadersummen approximiere erhalte ich gerade $\begin{eqnarray} [0,1]^2 \end{eqnarray}$ . Aber die Approximation von innen kann ich mir nicht richtig vorstellen. Müßte ja eine J-Nullmenge sein.
05.04.2007, 13:21	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das sehe, vermischst du hier Topologie und Maßtheorie. Erstens: Was ist ein Jordan-Maß? Und du weißt nicht, was der Rand einer Menge ist? Der Rand einer Menge M (in einem topologischen Raum T) ist die Menge der Punkte von T, für die jede offene Umgebung (des jeweiligen Punktes) sowohl einen Punkt außerhalb als auch einen innerhalb von M enthält.
05.04.2007, 13:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt schon diesen Zugang per Jordan-Maß, der mir allerdings auch wenig geläufig ist. Dieser Begriff des "inneren" Maßes, der in der normalen Maßtheorie nicht gebräuchlich (da er topologisches beinhaltet), ist wohl sowas wie $\begin{eqnarray} \underline{\mu}(A) = \sup\Big\{ \sum_i \mu(A_i) \Big\| \bigcup\limits_i A_i \subseteq A,\; A_i\;\textrm{disjunkt und offen} \Big\} \end{eqnarray}$ o.ä. ? In dem Fall ist $\begin{eqnarray} \underline{\mu}(B)=0 \end{eqnarray}$ klar, denn dein $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ enthält ja gar keine inneren Punkte.
05.04.2007, 16:58	Juri	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Die Definition des Randes hat mir schon geholfen. Ich erinnere mich (jetzt) auch, dass das in einer Übung als Bemerkung stand - nur im Skript eben nicht. Ich kenne keinen anderen Zugang zur mehrdim. Integrationstheorie. Wir haben das so eingeführt: Jordan-Maß <==> Riemann-Integral (endliche Quadersummen) Lebesgue-Maß <==> Lebesgue-Integral (abzählbare Quadersummen) Wobei das Jordan-Maß natürlich kein "echtes" Maß ist, da die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Subadditivität nicht erfüllt ist (für das äußere J-Maß). Beim Lebesgue-Maß haben wir auch nur das äußere Maß betrachtet. Definiert ist das Jordan-Maß via $\begin{eqnarray} \mu(B) := \int_B 1 dx = \int_Q \chi_B dx \end{eqnarray}$ oder auch integralfrei wie Arthur Dent durch $\begin{eqnarray} \underline{\mu} (B) = \sup \{ \|S\| \| \text{ S Quadersumme mit } S \subset B \} \end{eqnarray}$ (analog das äußere J-Maß).

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