Potenzregel für Zahlen aus Definitionsmenge Z

10.11.2004, 22:46	Mira`	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzregel für Zahlen aus Definitionsmenge Z Hi. Ich hab ein Problem, ich soll die Potenzregel für Zahlen aus der Definitionsmenge Z beweisen. Ich habs mit dem Differenzenquotienten probiert, hat aber leider nicht geklappt. Dann bin ich durch blättern in alten Unterlagen auf die "Vollständige Induktion" gekommen. Nur bekomm leider keinen Ansatz hin. Könnte mir da bitte mal jmd helfen? Aufgabe: Für Funktionen f mit $\begin{eqnarray} f(x) = x^z , z \in Z \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f'(x) = z x^{z-1} \end{eqnarray*}$
10.11.2004, 23:01	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibts mehrere Möglichkeiten: 1. Vollständige Induktion. Weißt du, wie das funzt? Hast du das im Unterricht gehabt, die vollständige Induktion? 2. Binomischer Satz, kennst du den? 3. Polynomdivision bzw. Benutzen der Formel $\begin{eqnarray} \frac{a^n-b^n}{a-b}=\sum_{k=0}^{n-1}~a^{n-1-k}b^k \end{eqnarray}$ die über Polynomdivision hergeleitet werden kann, aber auch durch vollständige Induktion bewiesen werden kann oder durch geschickte Addition der 0.
10.11.2004, 23:03	Anaiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x \to x^z \end{eqnarray}$ erhält man den Differenzialkozient $\begin{eqnarray} m_s=\frac{(x_0+h)^z-x_0^z}{h} \end{eqnarray}$ so mein tipp
10.11.2004, 23:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Anaiwa Du hast da n paar kleine Fehler drin! Und außerdem weißt du doch, dass keine fertigen Lösungen gepostet werden sollen! Also nimm das bitte weg und gib nur kleine Tipps! Danke!
10.11.2004, 23:12	Anaiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
du bist gemein hab das so schoen ausdem buch abgeschrieben, ^^ hätte es sonst net gekonnt heul ^^
10.11.2004, 23:22	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hast du aber n schlechtes Buch, da war nämlich einige relativ gröbere Schnitzer drin!
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11.11.2004, 14:06	Mira`	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Erstmal danke für dei schnellen Antworten. Vollständige Induktion haben wir im Unterricht schon vor langer Zeit behandelt, jedoch meinte mein Lehrer das es mit Induktion und Differenzenquotienten viel zu umständlich wäre. Binomischer Satz sagt mir leider absolut garnix. Mein Lehrer meinte, der Beweis sei ganz einfach unter der Verwendung von Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Kann darauf aber leider auch nichts malen. Überhaupt keine Ahnung wie ich mit diesen 3 Regeln einen geeigneten Beweis für die oben genannte Formel bringen kann. greetz Mira`
11.11.2004, 22:21	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann anders: $\begin{eqnarray} f(x)=x^n=x\cdot x\cdot x\cdots x\cdot x \end{eqnarray}$ Du hast da n Faktoren! Allgemeine Produktregel anwenden, dann bekommst du: $\begin{eqnarray} f'(x)=1\cdot x\cdots x\cdot x+x\cdot 1\cdots x\cdot x+...+x\cdot x\cdots 1\cdot x+x\cdot x\cdots x\cdot 1 \end{eqnarray}$ Jeweils n-1 Faktoren (der n-te Faktor wurde abgeleitet zu 1). Insgesamt n Summanden, reicht das?

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