lineare unabhängigkeit

10.11.2004, 22:52	sdauth	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare unabhängigkeit hallo! ich bräuchte wieder einmal eure hilfe. ich soll zeigen, dass die Menge { log(p) \| p prim } linear unabhängig über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist. ok, linear unabhängig heißt in dem fall, dass aus x1log(p1) + x2log(p2) + ... + xnlog(pn) = 0 folgt: x1=x2=...=xn=0 bzw: da es sich hier um eine unendliche menge handelt, muss jede endliche teilmenge linear unabhängig sein. l.u über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ heißt, dass x1,...,xn aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sein müssen. so, ich denke mir nun, dass diese menge nur dann linear abhängig sein kann, wenn die x1,...,xn ebenfalls die dekadischen logarithmen von primzahlen sind. da diese aber immer irrational sind, folgt daraus, dass die menge l.u. über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist. aber wie kann ich das nun beweisen?
10.11.2004, 23:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In deiner Gleichung sind $\begin{eqnarray} x_1,...,x_n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ , d.h. als Brüche schreibbar. Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner dieser Brüche durch, dann erhältst du eine Gleichung mit Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_1,...,a_n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Verwende die Logarithmengesetze, so daß links der Logarithmus nur noch einmal vorkommt. Dann überlege einmal selber weiter ...
11.11.2004, 00:25	sdauth	Auf diesen Beitrag antworten »
danke mal für die hilfe, aber ich komm trotzdem nicht weiter. ist vielleicht schon zu spät heute. ich habs mal umgeformt, so wie du geschrieben hast $\begin{eqnarray} log (p_1^{a_1} ... * p_n^{a_n}) = 0 \Rightarrow p_1^{a_1} * ... * p_n^{a_n} = 1 \end{eqnarray*}$
11.11.2004, 06:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bist du fertig. Nehmen wir an, es gäbe unter den $\begin{eqnarray} a_1,...,a_n \end{eqnarray}$ positive oder negative Zahlen. Da das Produkt den Wert 1 hat, müssen sich die verschiedenen (!) Primzahlpotenzen gegenseitig wegheben. Das ist aber unmöglich. Also gilt $\begin{eqnarray} a_1=...=a_n = 0 \end{eqnarray}$ . Und da die $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ aus den $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ durch Multiplikation mit einer Zahl $\begin{eqnarray} \neq 0 \end{eqnarray}$ hervorgegangen sind, gilt dann auch $\begin{eqnarray} x_1=...=x_n = 0 \end{eqnarray}$ .

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