Olympiadenaufgabe

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Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
Olympiadenaufgabe
Hi!
Heute war Matheolympiade, 2. Stufe in ganz Deutschland. Lief ganz gut bei mir, bin immerhin Bester aller 11.-13.-Klässler in meinem Bezirk. Aber zwei Aufgaben konnte ich nich lösen und ich würd mal gern ne Lösung dafür sehen, zumindest für die eine erstmal. Denn ohne Erfahrung mit Wettbewerbsaufgaben oder zumindest einmal so eine Lösung gesehen zu haben, kann man das mMn nur sehr schwer lösen. Und sowas in Richtung Zahlentheorie is auch nich ganz mein Ding.

Also hier die Aufgabe:
Es sei n eine ganze Zahl und darstellbar in der Form



mit zwei natürlichen Zahlen a und b.
Wie viele ganze Zahlen zwischen 1 und 2005² gibt es, die eine solche Darstellung besitzen?

Und dann war da noch ne andere Aufgabe, die für mich noch 'unlösbarer' schien. Die hab ich aber leider nich mehr im Kopf, vielleicht stell ich sie, wenn sie mir wieder zugänglich ist (Anfang Dezember). Augenzwinkern

Also, wäre schön, wenn mir mal jmd. einen Tipp geben könnte, wie man sowas da oben lösen kann.
Natürlich ist keine komplette Lösung erwünscht smile
carsten Auf diesen Beitrag antworten »

*grins* nette Aufgabe, ich glaube ich weiss wie's geht, ich muss nur noch ueberlegen, wie ich die Idee angebe, ohne das gleich alles verraten ist Augenzwinkern .

ich schreib hier spaeter noch mehr dazu

Gruesse Carsten

EDIT: sortiere die moeglichen Loesungen nach (a+b)^2 und betrachte wieviele Loesungen es fuer jedes m=a+b gibt.
 
 
flixgott Auf diesen Beitrag antworten »

du bist bester aus dem ganzen kreis und hast 2 aufgaben gar nicht?! krass! mir erschienen dieser jahr die aufgaben nicht so schwer (wobei ich mich erstmalig auch nicht an der korrektur beteiligte) aber hier mal für alle interessierten die aufgaben (übernehme für die korekktheit keine verantwortung, denn ich hab sie selber nur als mail bekommen):

Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V.
44.Mathematik-Olympiade
2. Stufe (Regionalrunde)
Klasse 11-13
Aufgaben

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsgemeinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.

441321
Eine ganze Zahl n sei der Form
n = (a + b )² + a - b
mit positiven ganzen Zahlen a und b dargestellt.
a ) Man beweise, dass n gerade ist.
b ) Man ermittle, wie viele ganze Zahlen n zwischen 1 und 2005*2005 eine solche Darstellung besitzen.

441322
Durch den Mittelpunkt M eines Kreises k gehe die Gerade g. Auf dem Kreis k liege der Punkt P so, dass die Tangente an k in P die Gerade g in einem Punkt S schneidet. Es sei V der Mittelpunkt der Strecke PS. Man beweise, dass das Lot von V auf die Gerade g keine inneren Punkte des Kreises k trifft.

441323
Man bestimme alle Paare (x; y) ganzer Zahlen, die Lösungen des Gleichungssystems
(3 + x) : (6 - x) + (2 + y) : (9 - y) = 0
(4 + x) : (9 - y) + (1 + y) : (6 - x) = 0
sind.

441324
Zwei Freunde Andreas und Ben haben sich folgendes Spiel ausgedacht: Gegeben sind die n Eckpunkte A1, A2, ?, An eines regelmäßigen n-Ecks mit n ? 4. Andreas und Ben zeichnen abwechseln jeweils eine neue Strecke AiAj (i ? j), bis alle Kanten und Diagonalen eingezeichnet sind. Dabei benutzt Andreas die Farbe Blau und Ben die Farbe rot. Andreas hat gewonnen, wenn am Ende des Spiels mindestens ein "einfarbiges Dreieck" entstanden ist. Im anderen Fall hat Ben gewonnen.

Für welche n kann Andreas durch geeignete Spielweise den Gewinn erzwingen
a ) falls Andreas die erste Verbindungsstrecke zeichnet,
b ) falls Ben die erste Strecke zeichnet?

Bemerkung: Unter einem "einfarbigen Dreieck" verstehe man drei Punkte Ai, Aj, Ak mit i < j < k so, dass die drei Strecken AiAj, AjAk und AiAk mit der gleichen Farbe gezeichnet sind.
klarry Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Olympiadenaufgabe
Hallo,
hast Du diese Aufgabe schon geschafft? ich habe gerade versucht, eine Lösung zu bekommen. ich möchte gern nur wissen, ob die richtig ist.

meiner Meinung,
a,b sind zwei natürlichen Zahlen:
1) sie könnten gleich sind oder ungleich sind.
2) (a+b)^2 + (a-b) ist grade Zahlen <corrected>
3) Min(a) ist 1
4) es gibt eine andere Weise, die den n beschreiben kann. .....


es würde zwei Ergebnisse gegeben. (von zwei Moeglichkeiten )


Gruß smile
carsten Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Olympiadenaufgabe
Zitat:
Original von klarry
2) (a+b)^2 und (a-b) beide sind grade Zahlen


Nein, wenn a gerade und b ungerade ist, dann ist sowohl (a+b)^2 als auch (a-b) eine ungerade Zahl.

Zitat:

es würde zwei Ergebnisse gegeben.


es gibt viel mehr Loesungen. Allein fuer a=b gibt es schon ziemlich viele Loesungen. z.B. 4, 16, 36, 64, ...



Gruesse Carsten

P.S. zu meiner Zeit musste man schon fast volle Punktzahl haben (gab es nicht immer 40 Punkte?) um im Bezirk der Beste zu sein.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von carsten
P.S. zu meiner Zeit musste man schon fast volle Punktzahl haben (gab es nicht immer 40 Punkte?) um im Bezirk der Beste zu sein.

Vielleicht waren zu deiner Zeit die Aufgaben einfacher Big Laugh
Aber wahrscheinlich gab es da noch mehr "Mathematiker" als heute in der neuen Medien-, Untrehaltungs-, ... gesellschaft. Hammer

@flixgott, carsten
Aber ihr stimmt mir schon zu, dass z.B. Aufgabe 4 ziemlich schwer zu lösen ist? MMn kann man solch eine Aufgabe, ohne mal je eine Lösung davon gesehen zu haben oder ohne viel Übung darin zu haben, nur sehr sehr schwer lösen. Ich mein, ich hätte keine Ahnung, wie ich sowas mache und wer schafft es denn bitte, beim ersten Mal eine solche Aufgabe zu lösen? Und die Übung hab ich ja noch nich, hab bis jetzt erst einmal in der 6. bei der Olympiade mitgemacht und danach nur letztes Jahr beim Tag der Mathematik an der FU Berlin, Aufgaben siehe diesem Thread. Ansonsten nur Känguru, aber das is ja was ganz anderes.
Übrigens hat in unserem Bezirk bei der 4. Aufgabe auch nur einer 10 Punkte, einer 5, wenige 3, n bißchen mehr 1-2 und der Rest (größte Teil) 0.

Jetzt zurück zur Aufgabe:
Wie genau meinst du das carsten?



Und jetzt? verwirrt Hilft mir nich so richtig weiter. Vielleicht noch n bißchen mehr helfen? Augenzwinkern
Mathezombie Auf diesen Beitrag antworten »

hmm mir hilfts auch nicht weiter.... ich hab jetzt alle aufgaben davon schon irgendwie gelöst aber die ist ja echt hartnäckig! ach man ich hab jetzt das erste mal so aufgaben von der olympiade gesehn (unsere lehrer haben das aus irgendeinem unerfindlichen grund von mir fern gehalten) und ich finds schon heftig, dass da so schwere aufgaben für die ganze oberstufe sind und mein problem ist, dass es doch irgendwie unfair ist, wenn da welche aus der 13 teilnehmen und wenn ich (noch dumme kleine 11er-schülerin) ankomme und dann die gleichen aufgaben bekomm. aber naja egal und ich hab da noch ne frage: also ist das eigentlich so, dass man in ganz deutschland die gleichen aufgaben bekommt oder variiert das?? und helft mir mal bitte bei der einen aufgabe weiter. das macht mich total verrückt, weil ich die rauskriegen will aber das funktioniert nicht so ganz... Forum Kloppe
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt mir auch komisch vor. Wie kann man 2 Aufgaben falsch haben und dann noch so weit vorne sein? Ich hätte es in der 8.Klasse (bin jetzt 10.) fast nicht geschafft in die nächste Runde zu kommen, weil ich nur 36/40 Punkten hatte. Und es gibt immer 40 Punkte, zumindest bei der 2. (Stadt/Kreis), 3. (Bundesland)und 4.Runde (Deutschland), aber ich hatte bisher nur bei 3 Stadtolympiaden volle Punktzahl und bei der 4.Runde ein Mal 35 Punkte und ein Mal 32 Punkte und dieses Jahr sieht es wieder nicht so gut aus, weil meine Lösung zu einer Aufgabe total unverständlich war. Ich kenne jetzt zwar eine einfache Lösung, aber man kann sich ja auch noch mal überlegen, ob man zumindest in der 10.Klasse volle Punktzahl bkommen hätte. Ihr braucht keine Lösungen anzugeben, da diese nicht in diesen Thread gehören.

441023
Gegeben sei eine Pyramide ABCDE mit quadratischer Grundfläche, deren seitenflächen ABE, BCE, CDE und ADE sämtlich gleichseitige Dreiecke sind. Auf der Seitenfläche CDE sei ein regelmäßiges Tetraeder aufgesetzt.

Untersuchen sie, ob der Körper ABCDEF sieben unterschiedliche Seitenfächen hat.
Mathezombie Auf diesen Beitrag antworten »

au man ihr habt aber alle schon oft da mitgemacht fällt mir grade auf. ihr seid bestimmt alle so superschlau und könnt das alles...ich werd von allen schon immer ausgelacht weil ich so einigermaßen was mit mathe anfangen kann aber hui...ist das bei euch normal, dass allle so schlau sind oder seid ihr ausnahmen oder tut ihr einfach nur so als ob ihr ahnung hättet? ämm und ich hab grad noch was vergessen: warum war bei euch schon die mathe olympiade und warum ist die bei uns an diesem samstag morgen?! und wer entscheidet darüber, welche aufgaben gestellt werden? ach ich finds einfach nur komisch und ich find man kriegt von mathe gute laune (auch wenns sich total bescheuert anhört) also helft mir bitte bitte bei der aufgabe
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach werden die Aufgaben in ganz Deutschland am selben Tag geschrieben. Also wenn du nicht aus Deutschland kommst ist es also kein Wunder. Es gibt eine Aufgabenkommision in Deutschland, die die Aufgaben macht für alle 4 Stufen. Und so schwer sind die Aufgaben wirklich nicht, aber man braucht nicht zu verzweifeln. Ich kann villeicht Mathe und Physik und vielleicht noch Chemie, aber bei Fremdsprachen bin ich eine absolute Niete.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann ja nichts dafür, dass die anderen so 'schlecht' sind Augenzwinkern
Es is ja auch "nur" die zweite Runde, haben auch nich so viele mitgemacht. In der 11. Klasse z.B. insgesamt 12 Schüler.
Der zweite in der 11. hatte 12 Punkte, der Beste in der 12. hatte 23 Punkte. Ich hatte 24, 3 für Aufgabe 1a), 10 für 2 und 11 für 3. Ich bin schon stolz, dass ich das so geschafft hab, obwohls mir eigentlich relativ egal ist. Wer es sich angucken will, wie es in meinem Bezirk mit den Ergebnissen aussieht, der kann das hier tun. Und was das mit dem Bezirk angeht: Es handelt sich hier alles um einen von 12 Bezirken Berlins und soweit ich weiß gibt es hier auch "nur" noch 5 Gymnasien.
Mir is das ja auch relativ egal, denn ich weiß, dass ich dafür schon Erfahrung bräuchte und außerdem sind mir solche Aufgaben nich so wichtig. Da mach ich dann doch lieber den 'Hauptstoff' der Mathematik und nicht solche "exotischen" Aufgaben. Und deswegen is mir das ziemlich egal und ich nehms wies kommt und nicht so verbissen Augenzwinkern

Aber jetzt bitte zurück zur Aufgabe, da will ich ja trotzdem mal weiterkommen Augenzwinkern
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe in Potsdam zur Schule auf Helmholtzgymnasium und das schickt allein über 60 Schüler in den Klassenstufen 5-13. Es waren auch 6 andere aus meiner Klasse bei der Matheolympiade. Wirklich schwer wird es ja erst bei der Bundesrunde, wenn man da überhaupt hinkommt.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

441023

nun gut, ist ja schon bekannt ...,

aber es nicht wirklich ein großes Problem den gewissen Winkel
als Summe zweier anderen zu berechnen und damit zu zeigen,
dass er 180° beträgt.

Das wäre die Standardmethode ...



was die 'Bewertungen' angeht usw. so denke ich, da kann sich
von außerhalb kaum wer Urteile erlauben
und ob was gerecht ist oder nicht, schon mal garnicht, denn
gerecht und solche Dinge gibts nicht wirklich.

Auch die Einwände dass verschiedene Dinge zu hoch und die
aus den oberen Klassen bevorteilt seien, trifft nicht den Kern,
denn hierbei gehts nicht darum Schulwissen abzufragen sondern
'Fähigkeiten' zu prüfen ...

Wer nur Schulstoff kann und sonst nichts zu sagen hat wie
'das haben wir aber noch nicht gehabt' hat eh kaum Chancen
da irgendwas Ernsteres zu erreichen ... . Augenzwinkern
.
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Standardmethode habe ich genommen. Aber es ging so viel einfacher. Und wer weiß, wer da durchsieht, denn ich habe keine Skizze gemacht und noch 5 oder 6 Punkte fetsgelegt um die Winkel zu berechnen und ich weiß nicht, ob man sich so was vorstellen kann. Aber richtig ist meins ganz sicher auch, vielleicht ein Punkt wegen irgendwelchen Kleinigkeiten bei der Beschreibung, aber da kein anderer aus meiner Klasse (Wir haben immer tolle Ergebnisse z.B. vom letzten Jahr:ich 36 Punkte mein Freund 30 Punkte und der 3.Platz 26 Punkte) die Aufgabe richtig hat, werde ich wohl doch noch Erster.
carsten Auf diesen Beitrag antworten »

441321:

Also der gleiche Tipp nochmal, nur hoffentlich diesmal verstaendlicher.

Es gibt viele Zahlen die sich in dieser Art darstellen lassen. Man muss sie nun so sortieren, dass man sie gut zaehlen kann. Eine einfache Methode ist alle n, die sich in obiger Form darstellen lassen, nach (a+b) zu sortieren.
Fuer ein gegebenes m schaut man sich alle Zerlegungen m=a+b an. Wieviele Kombinationen gibt es dieses m in a+b darzustellen. Und wieviele verschiedene "n" kann man aus diesen a,b darstellen?

Dann muessen natuerlich noch ein paar Kleinigkeiten geklaert werden, z.B. kann man mit "2 verschiedenen m" das gleiche n darstellen?

Gruesse Carsten
Mathezombie Auf diesen Beitrag antworten »

aber wo kommt denn bitte das m her? also bei mir gibts da nur a, b und n.... und soll ich da jetzt alle zahlenpaare ausrechnen? da sitz ich ja jahrtausende dran... verwirrt
carsten Auf diesen Beitrag antworten »

Natuerlich stehen in der Aufgabenstellung nur a,b,n. Das m habe ja auch ich eingefuehrt!

Du nimmst dir eine beliebige Zahl, diese Zahl kann man "m" nennen Augenzwinkern .
Fuer diese Zahl schaust du dir alle Moeglichen Zerlegungen in m=a+b an (mit a,b natuerliche Zahlen). Fuer jede Zerlegung a,b ergibt sich ein n, nach obiger Form. Und jetzt kann man ziemlich einfach zaehlen wie viele n sich fuer ein beliebiges m ergeben.

Jetzt schaut man halt wieviele m's es gibt, so dass die sich ergebenden n's zwischen 1 und 2005^2 liegen ....

Gruesse Carsten
Mathezombie Auf diesen Beitrag antworten »

joa das hab ich auch gemerkt als ich das schon geschrieben hatte tut mir leid aber ich hab heute echt n brett vorm kopf gehabt...aber jetzt hab ich die aufgabe endlich üää und ich bin zwar nachher selbst drauf gekommen aber wenn ich noch dümmer als jetzt wär dann hättest du mir mit deinem dings was du geschrieben hast glaub ich schon ziemlich geholfen
carsten Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst mir ja mal eine PN schicken, mit dem was du raus hast smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mag solche Zahlentheorie-Sachen nich unglücklich
Also wie weit ich jetzt gekommen bin:



a und b als Laufvariablen:





Jetzt weiß ich also, dass



mit . Und jetzt soll ich m von 2 bis wohin laufen lassen? verwirrt

edit: Seh grad, dass ich ziemlich blöd war, geht viel einfacher:

carsten Auf diesen Beitrag antworten »

Das was dasteht ist richtig. Aber das brauch man doch alles gar nicht verwirrt

Man soll ja berechnen wieviele n sich so darstellen lassen.
Was du aus deinen Gleichungen siehst, ist es gibt m-1 verschiedene "n" fuer jedes m. Und m = a+b , also geht m sicher bis in die Gegend von 2005, da ja n kleiner als 2005^2 sein soll. Die genaue Grenze ist natuerlich zu ueberlegen.

Ich wuerde n = m^2 + (a-b) schreiben, oder n = m^2 + m - 2b.
(wobei es fuer a und b m-1 Moeglichkeiten gibt).

Jetzt hat man fuer jedes m m-1 verschiedene n. Und fuer 2 verschiedene m kann man nie das gleiche n erhalten (Warum?). Jetzt braucht man nur noch richtig aufsummieren.

Gruesse Carsten
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Um genau zu sein: Es muss gelten, das größte von 2005 erzeugte n (und auch noch andere) sind also größer als 2005². Das größte für m=2004 ist , es ist . Die Differenz von kleinstem und größtem n für m=2005 zu 2005^2 ist gleich, d.h. es werden durch m=2005 noch Zahlen erzeugt, die kleiner als 2005² sind. Das wird dann noch addiert zur Gesamtzahl, die man bis m=2004 bekommt.
Zitat:
Jetzt hat man fuer jedes m m-1 verschiedene n. Und fuer 2 verschiedene m kann man nie das gleiche n erhalten (Warum?). Jetzt braucht man nur noch richtig aufsummieren.

Zu dem "warum": Seien l und l+1 zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, dann ist das kleinste n, das durch l+1 erzeugt wird,



und das größte, das durch l erzeugt wird, ist



Es ist



Also der Abstand zwischen dem größten n, das durch eine Zahl l erzeugt wird, und dem kleinsten, das durch ihren Nachfolger erzeugt wird, immer 4. Insbesondere sind alle durch l erzeugten Zahlen kleiner als alle durch l+1 erzeugten Zahlen und somit sind alle erzeugten Zahlen n für beliebige ungleiche l und k ungleich.
Und das aufsummieren: Ich würd sagen, die Summe ist



Es gibt also 2008008 Zahlen n zwischen 1 und 2005², die eine Darstellung der Form



mit natürlichen a und b haben.

Danke vielmals für die Hilfe!!! Freude Wenn jemand Lust hat, kann er ja mal ne Lösung zur letzten Aufgabe posten, würd mich interessieren (hab aber auf die Aufgabe kein Bock, das mit Tipps durchzuarbeiten Big Laugh ).


edit: Bitte natürliche um Proteste, wenn was falsch ist und wär auch erfreut, wenn sich nochmal jmd. meldet und mir sagt, dass ich auch ja keine kleinen Rechenfehler eingebaut habe und sonst auch alles richtig ist Augenzwinkern
Mathezombie Auf diesen Beitrag antworten »

ach man ich hab aber bei der aufgabe irgendwie 2010012 raus und hab keine ahnung mehr was ich da gemacht hab... und bei der letzten aufgabe hab ich mir das einfach aufgemalt und dann hab ich bei a) für alle n, die größer oder gleich 4 sind und bei b) für alle n, die größer oder auch gleich 5 sind. wenn man das auch irgendwie ausrechnen konnte, wärs ganz nett wenn mir das jemand mal erklären könnte, wie man sowas macht und ich weiß auch nicht ob das richtig ist was ich da raus hab...
carsten Auf diesen Beitrag antworten »

@Mss
Ich bin der Meinung, dass das dein Loesungsweg und das Ergebnis stimmt (2008008).

Gruesse Carsten
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathezombie

Zur letzten Aufgabe: Andreas gewinnt immer, auch für n=4 und gleichgültig, wer anfängt.

Ein paar Tipps: Was passiert, wenn von einem Eckpunkt mindestens drei gleichfarbige Kanten ausgehen? Für welche n ist das stets gewährleistet, bzw. durch Strategien erreichbar? Die restlichen (endlich vielen) n erledigt man "per Hand" durch Auflistung aller o.B.d.A-Fälle.

Die restlichen drei Aufgaben sind mehr oder weniger Routine.
Maussi Auf diesen Beitrag antworten »

@ Arthur Dent

koenntest du die vierte aufgabe noch naeher beschreiben , was ma da machen muss oder wie man da vorgehen muss, weil ich versteh die immernoch nicht traurig .

Danke im Voraus
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maussi
@ Arthur Dent

koenntest du die vierte aufgabe noch naeher beschreiben , was ma da machen muss oder wie man da vorgehen muss, weil ich versteh die immernoch nicht traurig .


Lösung 441324:

Zunächst beweist man folgendes Lemma:

Sollte es einen Punkt A_l geben, von dem mindestens drei Strecken derselben Farbe ausgehen, dann gewinnt Andreas.

Beweis des Lemmas:
Seien nämlich A_i,A_j,A_k drei zugehörige Endpunkte dieser Strecken, o.B.d.A. seien A_lA_i, A_lA_j und A_lA_k sämtlich blau. Nun betrachten wir die drei Verbindungsstrecken A_iA_j, A_jA_k und A_iA_k. Die sind entweder sämtlich rot - dann ist A_iA_jA_k ein rotes Dreieck. Oder aber eine davon ist blau, o.B.d.A. A_iA_j - dann ist A_iA_jA_l ein blaues Dreieck.

---------------------------------------------------

Für n>=6 erfüllt jeder Eckpunkt A_l diese Bedingung, also gewinnt Andreas immer, unabhängig davon, wer anfängt und wie beide vorgehen.

---------------------------------------------------

Für n=5 kann Andreas diese Situation für mindestens einen Eckpunkt erzwingen:

In seinem ersten Zug färbt Andreas eine Kante, deren Punkte noch zu keiner gefärbten Kante gehören (Das ist möglich, wenn Ben anfängt - wenn Andreas selbst anfängt, kann er dafür jede Kante nehmen), o.B.d.A. sei das A_1A_2. Ben färbt im folgenden Zug eine andere Kante, die dann notwendig mindestens einen der Punkte A_1, A_2 nicht enthält, o.B.d.A. sei das A_1. Im nächsten Schritt färbt Andreas dann die Kante A_1A_3 blau. Unabhängig davon, wie Ben jetzt zieht, kann Andreas im nächsten Zug eine der beiden Kanten A_1A_4 oder A_1A_5 blau färben - schon liegt die obige Situation mit drei von A_1 ausgehenden blauen Kanten vor.

---------------------------------------------------

Bleibt der Fall n=4, auch in diesem Fall kann Andreas seinen Sieg erzwingen!

1.Fall: Andreas fängt an.

Er zieht zunächst A_1A_2. Ben hat nun zwei Möglichkeiten für seinen ersten Zug, entweder A_3A_4, oder aber die Kante grenzt an A_1A_2, o.B.d.A. A_1A_3.

1.1.: Ben färbt A_3A_4.

Dann färbt Andreas jetzt A_1A_3. Dann muss Ben A_2A_3 färben, um Andreas' unmittelbaren Sieg zu verhindern, Dann zieht Andreas A_1A_4, worauf Ben nur noch A_2A_4 ziehen kann, das rote Dreieck A_2A_3A_4 ist perfekt.

1.2.: Ben färbt A_1A_3.

Jetzt fährt Andreas mit A_2A_4 fort. Wiederum muss Ben A_1A_4 färbt, um den sofortigen Sieg von Andreas zu verhindern. Jetzt färbt Andreas noch A_2A_3 und Ben muss A_3A_4 färben, worauf A_1A_3A_4 rot ist.

2.Fall: Ben fängt an.

Auf o.B.d.A. A_1A_2 von Ben antwortet Andreas mit A_3A_4. Nächster Zug, auf o.B.d.A. A_1A_3 von Ben folgt schließlich A_2A_4. Färbt nun Ben die Kante A_2A_3, so ist A_1A_2A_3 rot. Färbt dagegen Andreas diese Kante, so ist A_2A_3A_4 blau.

Also gewinnt Andreas immer! Wink
Tina! Auf diesen Beitrag antworten »
441322
441322
Durch den Mittelpunkt M eines Kreises k gehe die Gerade g. Auf dem Kreis k liege der Punkt P so, dass die Tangente an k in P die Gerade g in einem Punkt S schneidet. Es sei V der Mittelpunkt der Strecke PS. Man beweise, dass das Lot von V auf die Gerade g keine inneren Punkte des Kreises k trifft.

Hab lange die Antwort auf diese ufgabe gesucht, hab leider nicht gefunden. un sollen wir dies zu Montag rauskriegen, hab aber kA, wie ich da vorgehen soll. Es würde sehr nett, wenn mir da jemand helfen könnte. Ich frag mich nur die ganze Zeit, wieso wir solche Aufgaben können müssen, die nichts mit unserer Thema zu tun haben.

Grüß alle und vielen Dank im Voraus
AD Auf diesen Beitrag antworten »
Re: 441322
Sei zunächst mal U der Lotfusspunkt dieses Lotes von V auf die Gerade g.

Dann solltest du folgendes beachten:

1) Die zu beweisende Aussage ist äquivalent zur Aussage: U liegt außerhalb des Kreises k. (Warum ist das so? verwirrt )

2) Zeige, dass die Strecke MU größer als der Radius von k ist. Hilfreich zur Streckenberechnung bzw. -abschätzung ist dabei die Rechtwinkligkeit (und überdies Ähnlichkeit) der Dreiecke MSP und VSU.
Prätorianer Auf diesen Beitrag antworten »
lösbar?
Hallo,

hab mich gefragt ob die Aufgabe überhaupt lösbar ist.

hab es die ganze Zeit versuch umzuformen, komme aber nicht auf ein klares ergebnis.

441323
Man bestimme alle Paare (x; y) ganzer Zahlen, die Lösungen des Gleichungssystems
(3 + x) : (6 - x) + (2 + y) : (9 - y) = 0
(4 + x) : (9 - y) + (1 + y) : (6 - x) = 0
sind.


Würd mich über den ansatz oder die lösung dieser Aufgabe sehr interessieren, denn einerseits scheint es leicht zu sein, täuscht aber.

MfG

Prätorianer
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lösbar?
Irgend einen Ansatz musst du doch versucht haben - wo bist du denn stecken geblieben?
Prätorianer Auf diesen Beitrag antworten »

Man zieht die Verbindung MV:=h. dann sagt man VS=PV=c ist VU=b

Nun gilt b^2+MU^2=h^2
und : r^2+c^2=h^2
--> b^2+MU^2=r^2+c^2

<--> b^2+MU^2-c^2=r^2

Nun ist b die Kathete und c die Hypotenuse und es gilt Kathete zum quadrat ist kleiner als hypotenuse zum quadrat, also b^2-c^2 <0 .
So ist MU^2 minus irgendeine Strecke gleich r^2. So weist man nach,dass r^2 kleiner als MU^2 ist.

Ist das richtig so?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir das alles selbst nochmal in Ruhe ansiehst, müsstest du merken, dass ... alles OK ist. Freude

(Eigentlich dachte ich ja, es geht um 441323, aber egal.)
Prätorianer Auf diesen Beitrag antworten »

und bei der anderen aufgabe habe ich folgendes:
1gleichung minus die zweite
(2 + x - y)/(6 - x) + (y - x- 2)/(9 - y) = (2 + x - y)(3 - y + x)/((6 - x)(9 - y)), dann hab ich irgendwie x1 = y - 2 und x2 = y - 3 rausgekriegt, danach diese x1 und x 2 nacheinander in die erste gleichung eingesetzt und am schluss y = -1, x = -4 bekommen.

Es waere mir hilfreich, wenn ich mich noch errinern konnte, wie ich auf x2 = y-3 komme, vlt. haste da ein Tipp fuer mich?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Differenz



enthält doch bereits alle Antworten, die du brauchst!!! (Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.)
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