Formel für Binomialkoeffizienten

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Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Formel für Binomialkoeffizienten
Und damit nicht immer dasselbe bewiesen wird, hätte ich eine Verallgemeinerung einer bekannten Formel anzubieten.

Man zeige:

Für alle ganzzahligen und alle (reellen oder komplexen) Polynome von einem Grad gilt:



Gilt die Aussage auch für Polynome über beliebigem Körper?
flixgott Auf diesen Beitrag antworten »

erste ansätze scheinen dies zubestätigen.. ist echt sehr interessant, wo kommt das denn her (und vorallem: warum beschäftigst du dich um die zeit mit so einem problem)?
sind das summenzeichen (mit index), der binomialkoeffizient und der polynombegriff soeinfach auf beliebige körper übertragbar?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache ist mir vor längerer Zeit schon aufgefallen. Ich habe die Aussage auch mit Hilfe einer verschränkten Induktion bewiesen. Daß ich das hier hereingestellt habe, liegt einfach daran, daß es sich ja um eine Verallgemeinerung einer bekannten Aussage handelt, nach der in letzter Zeit zum x-ten Male hier im Board gefragt wurde. Die Aufgabe ist sozusagen als Herausforderung für erfahrene Boardmitglieder gedacht. Wenn jemand einen "einfachen" nicht-induktiven Beweis findet, wäre es nett, wenn er dies hier mitteilen würde.
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

hier ist ein einfacher nichtinduktiver Beweis, ein Autoritätsbeweis via Formelsammlung:

Die Summe ist endlich, also kann man die Summierreihenfolge vertauschen und kommt von



auf



und



letzteres nur, um ein 0^0 zu vermeiden. Die Koeffizienten des Polynoms sind völlig willkürlich, also muss



gelten und das ist in der Tat Formel (4.2.2.3) aus Prudnikov, Bryckov Maricev, Integrale und Reihen (russ., Moskau 1984, S. 608). Die Frage wäre also noch, diese Formel einfach und nichtinduktiv zu beweisen.
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

die genannte Formel ist äquivalent mit dem Satz:

Der Kern (auch als NullSpace o.ä. bekannt) der n x (n + 1) Matrix



ist eindimensional und hat die mit alternierenden Vorzeichen versehenen Binomialkoeffizienten zu n als Vektorkomponenten.
Das rechnet man mit dem Gaussschen Algorithmus in (n - 1) Rechenschritten (oder Mathematica: RowReduce): die Binomialkoeffizienten bis auf einen erscheinen auf der letzten Spalte. Der erwähnte eine ergibt sich durch den Ansatz



weil der Kern nur bis auf eine multiplikative Konstante bestimmt ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Raumpfleger

Vielen Dank für diesen neuen Zugang zur Formel.
Ich habe das Gleichungssystem noch um eine Zeile erweitert:



Dieses Gleichungssystem habe ich nach der Cramerschen Regel gelöst. Die Berechnung aller Determinanten führte auf Vandermondesche Determinanten. Für die Determinante der Matrix habe ich gefunden:



Ersetzt man in der Matrix die Spalte mit dem Index durch die rechte Seite des Gleichungssystems, so erhält man die Determinante:



Somit folgt



Insbesondere zeigt die letzte Zeile des Gleichungssystems:

 
 
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