Formel für Binomialkoeffizienten |
11.11.2004, 06:39 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Formel für Binomialkoeffizienten Man zeige: Für alle ganzzahligen und alle (reellen oder komplexen) Polynome von einem Grad gilt: Gilt die Aussage auch für Polynome über beliebigem Körper? |
||
11.11.2004, 17:36 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » |
erste ansätze scheinen dies zubestätigen.. ist echt sehr interessant, wo kommt das denn her (und vorallem: warum beschäftigst du dich um die zeit mit so einem problem)? sind das summenzeichen (mit index), der binomialkoeffizient und der polynombegriff soeinfach auf beliebige körper übertragbar? |
||
11.11.2004, 19:44 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Sache ist mir vor längerer Zeit schon aufgefallen. Ich habe die Aussage auch mit Hilfe einer verschränkten Induktion bewiesen. Daß ich das hier hereingestellt habe, liegt einfach daran, daß es sich ja um eine Verallgemeinerung einer bekannten Aussage handelt, nach der in letzter Zeit zum x-ten Male hier im Board gefragt wurde. Die Aufgabe ist sozusagen als Herausforderung für erfahrene Boardmitglieder gedacht. Wenn jemand einen "einfachen" nicht-induktiven Beweis findet, wäre es nett, wenn er dies hier mitteilen würde. |
||
14.11.2004, 20:13 | Raumpfleger | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Leopold, hier ist ein einfacher nichtinduktiver Beweis, ein Autoritätsbeweis via Formelsammlung: Die Summe ist endlich, also kann man die Summierreihenfolge vertauschen und kommt von auf und letzteres nur, um ein 0^0 zu vermeiden. Die Koeffizienten des Polynoms sind völlig willkürlich, also muss gelten und das ist in der Tat Formel (4.2.2.3) aus Prudnikov, Bryckov Maricev, Integrale und Reihen (russ., Moskau 1984, S. 608). Die Frage wäre also noch, diese Formel einfach und nichtinduktiv zu beweisen. |
||
16.11.2004, 16:14 | Raumpfleger | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Leopold, die genannte Formel ist äquivalent mit dem Satz: Der Kern (auch als NullSpace o.ä. bekannt) der n x (n + 1) Matrix ist eindimensional und hat die mit alternierenden Vorzeichen versehenen Binomialkoeffizienten zu n als Vektorkomponenten. Das rechnet man mit dem Gaussschen Algorithmus in (n - 1) Rechenschritten (oder Mathematica: RowReduce): die Binomialkoeffizienten bis auf einen erscheinen auf der letzten Spalte. Der erwähnte eine ergibt sich durch den Ansatz weil der Kern nur bis auf eine multiplikative Konstante bestimmt ist. |
||
20.11.2004, 20:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
@ Raumpfleger Vielen Dank für diesen neuen Zugang zur Formel. Ich habe das Gleichungssystem noch um eine Zeile erweitert: Dieses Gleichungssystem habe ich nach der Cramerschen Regel gelöst. Die Berechnung aller Determinanten führte auf Vandermondesche Determinanten. Für die Determinante der Matrix habe ich gefunden: Ersetzt man in der Matrix die Spalte mit dem Index durch die rechte Seite des Gleichungssystems, so erhält man die Determinante: Somit folgt Insbesondere zeigt die letzte Zeile des Gleichungssystems: |
||
Anzeige | ||
|
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|