Kern und Bild |
| 11.11.2004, 10:30 | Christin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kern und Bild Aufgabe: Die Lineare Abbildung L sei durch die Matrix beschrieben. Bestimmen sie den Kern von L, und zeigen Sie, dass Bild L = { } So als erstes habe ich versucht den Kern von der Matrix zu bestimmen: Das habe ich in ein Gleichungssystem gepackt. Nun habe ich versucht das umzustellen und die x Werte zu ermitteln, da es aber diese 0er Diagonale gibt scheint es nicht zu klappen. Kann mir vielleicht jemand helfen ? Vielen Dank Christin |
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| 11.11.2004, 12:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kern und Bild du könntest die erste Gleichung nach x_2 auflösen und in die anderen (sprich 3. Gleichung) einsetzen. Oder geht es mehr darum, die Matrize umzuformen? |
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| 11.11.2004, 12:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kein problem, habe zum kern berechnen etwa 2 minuten gebraucht.... bringe die matrix so weit wie möglich auf stufenform und wende den -1 trick an. hast du davon schon mal was gehört? ich poste die lösung mal noch nicht...... mfg jochen |
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| 14.11.2004, 19:46 | paule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könntest du die Lösung angeben? Bekomm das auch nich hin bei ner 0 diagonalen. Stell mich irgendwie ungeschickt an ;=) Bräuchte mal nen anständiges Beispiel. |
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| 14.11.2004, 20:11 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also, paule, du weißt, was der -1 trick ist? dann gebe ich dir mal die matrix an, die nach meiner umformung (so weit wie möglich treppenform) aus der darstellungsmatrix von L (:=A) entsteht: -1-trick anwenden ergibt: Kern A = <> wo ist das problem? bedenke, das du zeilen vertauschen darfst.... mfg jochen |
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| 14.11.2004, 20:18 | paule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm kannst du mir den -1 trick mal genau erklären? blick das nicht so ganz. aber auf die matrix kam ich auch. mfg paule |
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| 14.11.2004, 20:30 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
frag mich jetzt bitte nicht, wieso er funktioniert, aber er funktioniert (und wir haben uns da auch schon mal den kopf zerbrochen drüber und hatten sogar erklärungen, aber das habe ich alles schon wieder verdrängt...): also du bringst die matrix so weit wie möglich auif treppenform und hast danach evtl. noch spalten in denen an der "richtigen stelle" keine 1 steht (deshalb kann man auch den rest der spalte nicht loswerden): aus dieser form kann man nun den kern ablesen, indem man die "stellen an denen einen 1 fehlt" mit einer -1 auffüllt (d.h. in der diagonale nuller durch -1er ersetzen). der kern wird dann von den dadurch neu entstehenden spalten gebildet. also in unserem fall eine -1 unten rechts einfügen und einen vektor ablesen. dieser erzeugt den kern. hoffe dir geholfen zu haben. mfg jochen |
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| 14.11.2004, 20:33 | paule | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, vielen Dank.. ich meld mich wieder falls mal wieder was nich klar ist 
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| 15.11.2004, 22:41 | Jansen21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und wie ist das mit dem Bild? |
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| 15.11.2004, 23:20 | guest | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, aber das mit dem -1 Trick ist ein bischen billig, einfach weil das ganze so ziemlich wilkürlich ist. zum berechnen des Kernes braucht man nur das Gleichungssystem zu lösen, so kommt man auf z=t, y=-2t und x=3t mit t Element R (Sorry, kann aber nicht mit Latex umgehen). Da Der Rang der Matrix 2 ist, aber 3 Vektoren gesucht werden, muß man einen Parameter wählen und das ist in diesem Fall z=t. setzt man das jetzt wieder ein, dann kommt man auf ( t*[3,-2,1], teR ) . Somit hat der Kern die Dimension 1. Jetzt müßte man nurnoch ein weiteres LGS aufstellen, bei dem gilt M*x=y und dieses wieder nur stur lösen, so wie das beim Kern gemacht wurde. Nicht wundern, daß die Vorzeichen anders sind, aber das t macht das ganze wieder wet bye 
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| 15.11.2004, 23:55 | guest | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab jetzt den Formeleditor gefunden: Kern(A):=\{ t* \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} | t \in \mathbb R \} Das Problem ist jetzt, daß wenn ich versuche das Gleichungssystem zu Lösen, daß folgende rauskommt: \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} und dies wiederum führt zu keinem Brauchbaren Ergebnis. Also hab ich da irgendwo doch noch nen Denkfehler drin 
bye 
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| 16.11.2004, 00:15 | guest | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, wenn ich nerve, aber ich würde die Aufgabe schon gerne gelößt haben und habe hier jetzt auch eine Idee, wie man zeigen kann, daß das Bild stimmt. Und zwar kann man das Bild anhand der Matrix auch darstellen als: der Zweite Vektor bleibt ja bestehen, daher müßte man doch eigentlich nur den Vektor [1, 1, -1] aus der Linearkombination vom ersten und vom dritten Vektor erstellen: I.) 2b=1 II.) 3b-a=1 III.) -2a=-1 -> a=b=1/2 geht daß so? oder ist da jetzt wieder ein denkfehler drin 
bye
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| 16.11.2004, 08:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
tja, aber so löst man die aufgabe halt..... und wie gesagt, da steckt ein mathematischer hintergrund dahinter..... wenn du genau hinsiehst ist mein kern ja auch nicht nur der eine vektor (wäre ja blödsinn, da (0,0,0) sicher im kern liegt), sondern das erzeugnis von diesem. und das ist nichts anderes als deine t-schreibweise...... mfg jochen |
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