Beweis eines Satzes

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InFlames666 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis eines Satzes
Hallo Leute! WIr zerbrechen uns mal wieder den Kopf und finden nicht mal einen Ansatz wie man diesen Satz beweisen kann:
Jeder endliche nullteilerfreie kommutative Ring mit mehr als einem Element ist ein Körper. Folge Z/pZ ist ein Körper F(index)p für jede Primzahl p

Z= Ganze Zahlen

Ich hoffe uns kann jemand helfen, danke
(kenn mich noch nicht mit dem Formeleditor aus Hilfe )
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zu zeigen ist nur noch die Existenz multiplikativer Inverser im Ring . Sei also . Betrachte die Abbildung



Weise nach, daß diese injektiv ist (liegt an der Nullteilerfreiheit). Injektive Abbildungen endlicher Mengen in sich sind aber immer zugleich surjektiv. Damit existiert ein mit .
 
 
InFlames666 Auf diesen Beitrag antworten »

ja danke, werde das gleich mal ausprobieren
BUW Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

warum muss denn nur noch die Existenz multiplikativer Inverse gezeigt werden? Was ist mit den anderen Axiomen?

Und wieso sind injektive Abbildungen endlicher Mengen in sich immer zugleich surjektiv?

Die Bedingung, dass es mind. 2 Elemente sein müssen muss doch sicherlich irgendwie in den Beweis miteinbezogen werden, oder?

Gruß,
Longfinger
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
warum muss denn nur noch die Existenz multiplikativer Inverse gezeigt werden? Was ist mit den anderen Axiomen?


sie haben doch schon gegeben, dass es ein kommutativer ring ist.
ein schiefkörper ist ein ring R mit zusätzlich multiplikativem inversem zu jedem element aus R\{additives inverses}.
ein körper ist ein kommutativer (bzgl. der multiplikativen verknüpfung) schiefkörper.

da die kommutativität auch schon gegeben ist, fehlt also nur noch die existenz des multiplikativen inversen.

Zitat:
Und wieso sind injektive Abbildungen endlicher Mengen in sich immer zugleich surjektiv?

R und R haben gleich viele elemente (#R:=n<unendlich).
du weißt Bild(R) c R (also #(Bild(R) <= #(R)).
du weißt jedes element aus R (Bildbereich) wird von der funktion höchstens einmal getroffen (injektivität), also kann #(Bild(R)) nicht echt kleiner sein.
damit folgt kardinalitäten sind gleich und da #(R)=n=#(Bild(R)) folgt, das komplett R (mind. einmal, oder sogar genau einmal) getroffen wird (Bild(R)=R).

also gilt bei abbildungen f:M->M, wenn #(M)<unendlich
f injektiv <=> f surjektiv <=> f bijektiv

mfg jochen


frage meinerseits: wieso ist ein ring mit nur einem element kein körper (ist das nach definition überhaupt ein ring?)?
R=({0},*,+), welches Axiom wird verletzt?
0 als additives und multiplikatives inverses (zugleich)...
InFlames666 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, man muss also zeigen das es ein Multiplikatives Inverses gibt, soweit waren wir auch schon aber wie zum Henker macht man das?? Ich glaub ich steh total auf dem Schlauch bei der Aufgabe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In manchen Definitionen eines kommutativen Ringes wird die Existenz eines Einselementes vorausgesetzt, andere Autoren hinwieder tun das nicht. Ich bin davon ausgegangen, daß der Ring auf jeden Fall eine 1 hat. Und dann geht es so, wie ich in meinem ersten Beitrag ausgeführt habe.
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