dimensionsfrage

11.11.2004, 15:46	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
dimensionsfrage kann man pauschal sagen das jede 2x2 matrix in Q die Dimension 4 hat... oder andersgefragt das jede mxn Matrix in Q die Dimension m*n hat? Kann ich dann daraus auf die Länge der Basis schliessen d.h eine Matrix hat die Dimension 5 => die Basis hat die Länge 5 kann man das pauschal immer sagen?
11.11.2004, 15:53	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Matrix hat keine Dimensionen. Ein Vektorraum hat Dimensionen. Wenn du einen Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ hast, dann hat der uneingeschränkte Vektorraum $\begin{eqnarray} K^{m \times n} \end{eqnarray}$ die Dimension $\begin{eqnarray} m \cdot n \end{eqnarray}$ . Aber nicht jeder Vektorraum, der aus Elementen von $\begin{eqnarray} K^{m \times n} \end{eqnarray}$ besteht hat diese Dimension. Betrachte z.B. Untervektorräume von $\begin{eqnarray} K^{m \times n} \end{eqnarray}$ . Eine Basis hat genausoviele Elemente wie der von ihr aufgespannte Vektorraum Dimensionen hat.
11.11.2004, 16:00	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
gut das ist klar aber dann habe ich ein anderes problem ich betrachte die abbildug f:m2x3(Q) ------>M2x2(Q), f[(a11 a12 a13)] = (2a11-a12 a13+2a12) a21 a22 a23 0 0 ist das jetzt ne matrix oder nen vektorraum oder ne körper? ich will davon basen für den kern und das bild finden kann ich dann sagen das der kern die dimension 6 hat und das bild die dim 4?
11.11.2004, 16:39	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f : \mathbb{Q}^{2 \times 3} \to \mathbb{Q}^{2 \times 2}, \quad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 2a_{11}-a_{12} & a_{13} + 2a_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist eine lineare Abbildung. $\begin{eqnarray} \text{Kern}(f) = \big\{ v \in \mathbb{Q}^{3 \times 3} \; \| \; f(v) = \vec{0} \big\} \end{eqnarray}$ Alle Vektoren der Definitionsmenge, die auf 0 abgebildet werden sind im Kern. Welche Vektoren sind das? Na gerade alle die, die folgende Gleichung erfüllen: $\begin{eqnarray} f(v) = \vec{0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iff \begin{pmatrix} 2a_{11}-a_{12} & a_{13} + 2a_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ohne viel nachzudenken sieht man: $\begin{eqnarray} 2a_{11} = a_{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{13} = -2a_{12} = -4a_{11} \end{eqnarray}$ Wir wählen jetzt für $\begin{eqnarray} a_{11} \end{eqnarray}$ den Parameter $\begin{eqnarray} q \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ Dann werden alle Matrizen auf 0 abgebildet, die folgende Form haben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} q & 2q & -4q \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann hat der Kern 4 Dimensionen.
11.11.2004, 20:06	matto	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo an alle!!!!! kannst du mir vieleicht erklähren wie man auf gerade 4 dimensionen kommt??? wenn ich raten müsste würde ich sagen dimension 1 ist durch die "q"s gegeben, dimension 2 durch $\begin{eqnarray} a_{12} \end{eqnarray}$ dimenssion 3 durch $\begin{eqnarray} a_{22} \end{eqnarray}$ und 4 durch $\begin{eqnarray} a_{23} \end{eqnarray}$ .... gibt esda einen einfach zu verstehenden beweis? gruß matto

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